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11.4两条直线的交点[学习目标]1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2.会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系．3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点，三条直线交于一点等问题.【主干自填】两直线的位置关系与方程组的解设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)如果两条直线相交，则交点的坐标一定是两个方程的□01唯一公共解；如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点一定是□02两直线的交点．(2)方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0.①有唯一解⇔l1与l2□03相交；②有无穷多组解⇔l1与l2□04重合；③没有解⇔l1与l2□05平行．【即时小测】1．思考下列问题(1)已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程组的办法来解决三点是否共线的问题？提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无数个解，则A、B、C三点共线．(2)如何判断直线与直线、直线与其他图像的交点个数？提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就有几个交点．当方程组易解时此法才有效．法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，用“数形结合”法判断，此法往往能出奇致胜．2．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()A.－1，13B.13，1C.1，13D.－1，－132提示：B由3x＋4y－5＝0，3x＋5y－6＝0，得x＝13，y＝1.3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是()A．(5,2)B．(2,3)C.－12，3D．(5,9)提示：B由题可得k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0，则此直线经过2x－y－1＝0和x＋3y－11＝0的交点，解得x＝2，y＝3，故所求的定点坐标为(2,3)．4．下列直线中，能够与直线x＋3y＋4＝0相交的直线是________．①x＋3y＝1；②3x＋y＝0；③x2＋y3＝1；④y＝－13x＋4.提示：②③①与已知直线平行，④与已知直线平行，②③与已知直线相交．故填②③.5．直线y＝－x＋b和x－y＋1＝0的交点在第一象限，则b的取值范围为________．提示：(1，＋∞)解方程组y＝－x＋b，x－y＋1＝0，得x＝b－12，y＝b＋12，即两直线的交点坐标为b－12，b＋12，又两直线的交点在第一象限，故b－120，b＋120，得b1.例1判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.[解](1)解方程组2x＋3y－7＝0，5x－y－9＝0，得x＝2，y＝1.所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．3(2)解方程组2x－3y＋5＝0，4x－6y＋10＝0，①②①×2得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组2x－y＋1＝0，4x－2y＋3＝0，①②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.类题通法由方程组解的个数判断直线位置关系根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时，要先观察方程系数，解出方程组解的个数，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多个解，则两直线重合．也可根据直线的斜率和截距的关系判断直线的位置关系．[变式训练1]判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.解(1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，又kl1·kl2＝－1.所以直线l1与l2垂直相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，①②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.(3)解方程组x－y＋1＝0，①2x－2y＋2＝0，②→①×2，得2x－2y＋2＝0.因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以两直线重合.例2求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点．[证明]证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4；4当m＝12时，直线方程为x＝9，这两条直线的交点为(9，－4)．又当x＝9，y＝－4时，有9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，则无论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点．由方程组x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0，解得x＝9，y＝－4，即交点为(9，－4)．∴不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．类题通法证明直线过定点的方法要证明直线系中的直线都过一定点，就要证明它是一个共点的直线系．一般有两种方法：(1)特殊值法，给参数赋予两个特殊值，得到直线系中的两条直线，联立两直线方程，从中解出x，y的值(即两直线交点坐标)，然后证明该交点即直线系中任何直线都过的定点；(2)可将直线方程整理为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，从而将直线恒过的点转化为两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的交点，解方程组求出交点坐标，即得所求的定点．[变式训练2]求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证明证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组x－3y－11＝0，x＋4y＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．5证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有2x＋y－1＝0，－x＋3y＋11＝0.解得x＝2，y＝－3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3).例3求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．[解]解法一：由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2.即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝2－2＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.解法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.类题通法求过两直线交点的直线方程的两种方法一是常规法，即由题目已知条件求出交点及直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，不使用任何技巧，不过此法有时候较为繁琐．二是利用直线系方程，过两条相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，这里λ∈R，此直线系不包括A2x＋B2y＋C2＝0，这种方法可以避免解方程组求交点．[变式训练3]直线ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一点，求a的值．6解解方程组x＋3y－4＝0，5x＋2y＋6＝0得x＝－2，y＝2.∴直线x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0的交点坐标为(－2,2)，代入直线方程ax＋2y＋8＝0，得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.易错点⊳三条直线不能围成三角形时思维不严密致误[典例]当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．[错解]当三条直线两两相交，且过同一点时，不能构成三角形，∴当l2，l3相交于一点时，由3x－2y－5＝0，6x＋y－5＝0，得l2与l3的交点为(1，－1)．将点(1，－1)代入l1的方程，得3×1－m－1＝0，∴m＝2.∴当m＝2时，三线共点，不能围成三角形．[错因分析]忽略了三条直线中任两条平行或重合时也不能围成三角形这个条件．[正解]当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时，它们不能围成三角形．由3x－2y－5＝0，6x＋y－5＝0，解得x＝1，y＝－1，将x＝1，y＝－1代入l1的方程，得m＝2.∴当m＝2时，三条直线共点．又m＝－2时，l1∥l2；又m＝12时，l1∥l3.∴当m＝±2或m＝12时，l1，l2和l3不能围成三角形．课堂小结1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b).2.过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2：一般7形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程.1．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为()A．12B．10C．－8D．－6答案B解析将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可求得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得n＝5，所以m＋n＝10，故选B.2．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为()A．1B．－1C．2D．－2答案B解析首先联立4x＋3y＝10，2x－y＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1.3．已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1x＋b1y＝1，a2x＋b2y＝1的解的情况是()A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总是有唯一的解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解答案B解析由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1、P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则OP1与OP2不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组a1x＋b1y＝1，a2x＋b2y＝1一定有唯一的解．4．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是________．答案8x＋16y＋21＝0解析设所求的直线方程为3x－5y－10＋λ(x＋y＋1)＝0，整理得(3＋λ)x＋(λ－5)y＋λ－10＝0.由题意得3＋λ5－λ＝－12，解得λ＝－11，所以l的方程为8x＋16y＋21＝0.8