2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式 第2课时 诱导公式五、六教

-1-第2课时诱导公式五、六(教师独具内容)课程标准：1.了解诱导公式五、六的意义和作用.2.理解诱导公式五、六的推导过程.3.能综合运用诱导公式一～六解决简单三角函数式的求值、化简与证明问题．教学重点：诱导公式五、六的推导过程及诱导公式一～六的综合应用．教学难点：诱导公式五、六的推导过程.【知识导学】知识点诱导公式五、六【新知拓展】(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”“偶”是对诱导公式k·π2±α中的整数k来讲的．③“象限”指k·π2±α中，将α看成锐角时，k·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sin3π2－α＝－cosα，cos3π2－α＝－sinα，-2-sin3π2＋α＝－cosα，cos3π2＋α＝sinα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角π2－α与角α的终边关于y轴对称．()(2)由诱导公式五、六，能够推导出tanπ2＋α与tanα的关系．()(3)sin3π2＋α＝－sinα.()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25(2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cosπ2－α的值为()A．－45B.35C.45D．－35(3)化简：sin3π2＋α＝________.答案(1)C(2)A(3)－cosα题型一利用诱导公式五、六求值例1已知cosπ2＋α＝13，求值：sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcos3π2＋αsinπ＋α.[解]原式＝cosαsinα－cosα＋sinαsinα－sinα＝－sinα－sinα-3-＝－2sinα.又cosπ2＋α＝13，所以－sinα＝13.所以原式＝－2sinα＝23.金版点睛诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．[跟踪训练1]已知cos(π＋α)＝－12，求cosπ2＋α的值．解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32；②若α为第四象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝1－cos2α＝1－122＝32.综上，cosπ2＋α＝32或－32.题型二化简三角函数式例2化简：sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcosπ2＋αsinπ＋α.-4-[解]∵sinπ2＋α＝cosα，cosπ2－α＝sinα，cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα，cosπ2＋α＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，∴原式＝cosαsinα－cosα＋sinα·－sinα－sinα＝－sinα＋sinα＝0.金版点睛用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于kπ±α(k∈Z)和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．[跟踪训练2](1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值等于________；(2)化简：tan3π－αsinπ－αsin3π2－α＋sin2π－αcosα－7π2sin3π2＋αcos2π＋α.答案(1)912(2)见解析解析(1)因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋222＝912.(2)因为tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin3π2－α＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，cosα－7π2＝cosα＋π2＝－sinα，-5-sin3π2＋α＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，所以原式＝－tanαsinα－cosα＋－sinα－sinα－cosαcosα＝1cos2α－sin2αcos2α＝1－sin2αcos2α＝cos2αcos2α＝1.题型三利用诱导公式证明三角恒等式例3求证：tan－α－cosπ2－αcos－α－tanα－sinπ2＋α－cosπ2＋α＝1.[证明]∵左边＝tan－α－cosπ2－αcos－α－tanα－sinπ2＋α－cosπ2＋α＝－tanα－sinαcosα－tanα－cosαsinα＝1＝右边．∴原式成立．金版点睛三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[跟踪训练3]求证：cosπ－θcosθsin3π2－θ－1＋cos2π－θcosπ＋θsinπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.证明∵左边＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ-6-＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ1＋cosθ1－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．∴原式成立．1．已知sin40°＝a，则cos50°等于()A．±aB．－aC．aD.1－a2答案C解析cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a.2．已知sinα＋π2＝13，α∈－π2，0，则tanα的值为()A．－22B．22C．－24D.24答案A解析因为sinα＋π2＝cosα＝13.又α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－223，则tanα＝－22.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α＝________.答案2解析由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以原式＝－sinα＋－cosα＋cosα－2－sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.4．若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ－sin2θ＝________.-7-答案－725解析sinπ2＋θ＝cosθ＝35，从而sin2θ＝1－cos2θ＝1625，所以cos2θ－sin2θ＝－725.5．已知sinπ3－α＝12，求cosπ6＋αsin2π3＋α的值．解cosπ6＋αsin2π3＋α＝cosπ2－π3－αsinπ－π3－α＝sinπ3－αsinπ3－α＝12×12＝14.