2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及

12.2.4均值不等式及其应用(教师独具内容)课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：均值不等式条件的创造.【情境导学】(教师独具内容)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【知识导学】知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝□01|a－b|，这是数轴上两点之间的距离公式．(2)如果线段AB的中点M的坐标为x.若ab，则□02axb.因为M为中点，所以AM＝MB，即x－a＝b－x，因此x＝□03a＋b2.不难看出，当a≥b时，上式仍成立．这就是数轴上两点之间的□04中点坐标公式．知识点二算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数□01a＋b2称为a，b的算术平均值；数□02ab称为a，b的几何平均值．知识点三均值不等式2如果a，b都是正数，那么□01a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把这个不等式称为均值不等式．均值不等式也称为□02基本不等式，其实质是：□03两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．知识点四均值不等式与最大(小)值当x，y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当□01x＝y时，xy取得最□02大值□03s24(简记：和定积有最大值)．(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当□04x＝y时，x＋y取得最□05小值□062p(简记：积定和有最小值)．【新知拓展】1．由均值不等式变形得到的常见的结论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b均为正实数)；(3)ba＋ab≥2(a，b同号)；(4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b同号)；(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．2．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意均值不等式成立的条件；(2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．3．利用均值不等式的解题技巧与易错点(1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后再用均值不等式．(2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；3②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值；③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到；④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋b2≥ab对于任意实数a，b都成立．()(2)若a0，b0，且a≠b，则a＋b2ab.()(3)当x1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()(4)式子x＋1x的最小值为2.()(5)若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2的最小值为2.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________．(2)ba＋ab≥2成立的条件是________．(3)x＞1，则x＋1x－1的最小值为________．(4)若a0，b0，且a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为________．答案(1)m＝1(2)a与b同号(3)3(4)2题型一对均值不等式的理解例1给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy0，所以xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③4C．②D．①③[解析]从均值不等式成立的条件考虑．①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确；②因为a∈R，a≠0不符合均值不等式成立的条件，所以4a＋a≥24a·a＝4是错误的；③由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将xy＋yx看成一个整体提出负号后，－xy，－yx均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确．[答案]D金版点睛均值不等式a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是非负实数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.[跟踪训练1]下列命题中正确的是()A．当a，b∈R时，ab＋ba≥2ab·ba＝2B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)1a＋1b≥4C．当a＞4时，a＋9a的最小值是6D．当a＞0，b＞0时，2aba＋b≥ab答案B5解析A中，可能ba＜0，所以不正确；B中，因为a＋b≥2ab＞0，1a＋1b≥21ab＞0，相乘得(a＋b)1a＋1b≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C中，a＋9a≥2a·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D中，由均值不等式知，2aba＋b≤ab(a＞0，b＞0)，所以不正确．题型二利用均值不等式比较大小例2已知a＞1，则a＋12，a，2aa＋1三个数的大小关系是()A.a＋12＜a＜2aa＋1B.a＜a＋12＜2aa＋1C.2aa＋1＜a＜a＋12D.a＜2aa＋1≤a＋12[解析]当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈R＋)，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12.又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.[答案]C[题型探究]对一切正数m，不等式n＜4m＋2m恒成立，求常数n的取值范围．解当m∈(0，＋∞)时，由均值不等式，得4m＋2m≥24m·2m＝42，且当m＝2时，等号成立，故n的取值范围为n＜42.金版点睛利用均值不等式比较大小在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．[跟踪训练2]已知：a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，试比较1a＋1b，2a2＋b2，4的大小．6解∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤14.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，a2＋b22＝a＋b2－2ab2＝12－ab≥12－14＝14，即2a2＋b2≤4.∴1a＋1b≥4≥2a2＋b2.题型三利用均值不等式求代数式的最值例3(1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；(3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．[解](1)∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(2)∵2x＋y＋6＝xy，∴y＝2x＋6x－1，x＞1，xy＝x2x＋6x－1＝2x2＋3xx－1＝2[x2－1＋3x－14]x－1＝2x＋1＋4x－1＋3＝2x－1＋4x－1＋5≥2×2x－1·4x－1＋5＝18.当且仅当x＝3时，等号成立，∴xy的最小值为18.(3)因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－x＋y22，所以(x＋y)2≤43，即x＋y≤233，当且仅当x＝y＞0，且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝33时，等号成立，∴x＋y的最大值为233.[结论探究]若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？7解1x＋9y＝y＋9xxy≥2y·9xxy＝6xyxy＝6xy，又因为1x＋9y＝1，所以6xy≤1，xy≥6，xy≥36，当且仅当y＝9x，即x＝2，y＝18时，等号成立．所以(xy)min＝36.金版点睛利用均值不等式求代数式的最值(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[跟踪训练3](1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x0，y0，且满足x3＋y4＝1，求xy的最大值．解(1)∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.(2)∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3，即xy的最大值为3.题型四利用均值不等式求函数的最值例4(1)求y＝1x－3＋x(x3)的最小值；(2)已知0x13，求y＝x(1－3x)的最大值；(3)已知x＞－1，求y＝x2＋3x＋4x＋1的最小值．8[解](1)∵y＝1x－3＋x＝1x－3＋(x－3)＋3，又∵x3，∴x－30，1x－30，∴y≥21x－3x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时，y取得最小值5.(2)∵0x13，∴1－3x0，y＝x(1－3x)＝13·3x·(1－3x)≤133x1－3x22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，取等号，∴当x＝16时，函数取得最大值112.(3)∵x－1，∴x＋1＞0，y＝x2＋3x＋4x＋1＝x＋12x＋12x＋1＝x＋1＋2x＋1＋1≥22＋1，当且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时，函数y取得最小值22＋1.[条件探究]在本例(1)中把“x3”改为“x3”，y＝1x－3＋x的最值又如何？解∵x3，∴x－30，∴y＝1x－3＋x＝－13－x－(3－x)＋3＝－13－x3－x＋3≤－213－x3－x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当13－x＝3－x，即x＝2时，取等号．故函数y＝1x－3＋x(x3)有最大值1，没有最小值．金版点睛9利用均值不等式求函数的最值(1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．[跟踪训练4](1)已知x54，则y＝4x－2＋14x－5的最大值为________；(2)若x1，则y＝x2x－1的最小值为________．答案(1)1(2)4解析(1)∵x54，∴5－4x0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x15－4x＋3≤－25－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，y的最大值为1.(2)∵x1，∴y＝x2x－1＝x2－1＋1x－1＝x＋1＋1x－1＝x－1＋1x－1＋2≥2＋2＝4，当且仅当1x－1＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立，∴当x＝2时