2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.2 不等式的解集

12.2.2不等式的解集(教师独具内容)课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法.3.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法．教学难点：绝对值不等式的几何解法.【知识导学】知识点一不等式的解、不等式的解集及不等式组的解集的概念(1)能够使不等式成立的□01未知数的值称为不等式的解．(2)一般地，不等式的□02所有解组成的集合称为不等式的解集．(3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的□03解集的交集称为不等式组的解集．知识点二绝对值不等式一般地，含有□01绝对值的不等式称为绝对值不等式．知识点三数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为□01|a－b|，记作□02AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝□03a＋b2，这就是数轴上的中点坐标公式．【新知拓展】1．解绝对值不等式的主要依据解绝对值不等式的主要依据是绝对值的定义、绝对值的几何意义及不等式的性质．2．绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|≤a－a≤x≤ax＝0无解|x|＜a－a＜x＜a无解无解|x|≥ax≤－a或x≥aRR|x|＞ax＜－a或x＞ax≠0R21．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式2x－3≤1的解集为{x|x≤2}．()(2)若|x|≥a的解集为R，则a＜0.()(3)|x－1|＞1的解集为{x|x＞2或x＜－2}．()(4)|x－a|＜|x－b|⇔(x－a)2＜(x－b)2.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)不等式|x|x的解集是()A．{x|x≤0}B．{x|x0或x0}C．{x|x0}D．{x|x0}(2)不等式|3x－2|1的解集为()A．(－∞，1)B.13，1C.23，1D.－13，13(3)不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．(4)已知数轴上，A(－2)，B(x)，C(5)，若A与C关于点B对称，则x＝________；若线段AB的中点到C的距离小于3，则x的取值范围是________．答案(1)C(2)B(3)[－1，＋∞)(4)32(6,18)题型一一元一次不等式组的解法例1解下列不等式组：(1)2x－1＞x＋1，①x＋8＜4x－1；②(2)2x＋3≥x＋11，①2x＋53－1＜2－x.②[解](1)将①式移项、合并同类项，得x＞2.将②式移项、合并同类项，得3x＞9.系数化为1，得x3.所以不等式组的解集为(3，＋∞)．3(2)将①式移项、合并同类项，得x≥8.将②式去分母，得2x＋5－3＜6－3x.移项、合并同类项，得5x4.系数化为1，得x45.所以不等式组的解集为∅.金版点睛解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.[跟踪训练1]x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与12x－1≤7－32x都成立？解解不等式组5x＋2＞3x－112x－1≤7－32x.②将①式去括号，得5x＋2＞3x－3.移项、合并同类项，得2x－5.系数化为1，得x－52.将②式移项，合并同类项，得2x≤8.系数化为1，得x≤4.所以不等式组的解集为－52，4，所以x可取的整数值是－2，－1,0,1,2,3,4.题型二|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法例2解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.[解](1)|5x－2|≥8可化为5x－2≥8或5x－2≤－8，解得x≥2或x≤－65，故原不等式的解集为－∞，－65∪[2，＋∞)．(2)原不等式等价于不等式组|x－2|≥2，|x－2|≤4.由|x－2|≥2，得x－2≤－2或x－2≥2，所以x≤0或x≥4.由|x－2|≤4，得－4≤x－2≤4，所以一2≤x≤6.故原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}，即[－2,0]∪[4,6]．金版点睛4形如|ax＋b|≤cc和|ax＋b|≥cc型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c.[跟踪训练2]解下列不等式：(1)|2x－3|≤1；(2)|4－3x|＞5.解(1)由|2x－3|≤1可得－1≤2x－3≤1，所以1≤x≤2.故原不等式的解集为[1,2]．(2)由|4－3x|5可得4－3x5或4－3x－5，所以x－13或x3，即原不等式的解集为－∞，－13∪(3，＋∞).题型三|x－a|±|x－b|≤c和|x－a|±|x－b|≥c型不等式的解法例3解下列不等式：(1)|x＋1|＋|x－1|≥3；(2)|x－3|－|x＋1|＜1.[解](1)解法一：如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么点A，B之间的点到A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在点A左侧有一点A1到A，B两点的距离之和为3，A1对应数轴上的x.由－1－x＋1－x＝3，得x＝－32.同理设点B右侧有一点B1到A，B两点的距离之和为3，B1对应数轴上的x，由x－1＋x－(－1)＝3，得x＝32，从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A，B的距离之和都大于3.所以原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.解法二：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－32.当－1x1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3，解得x≥32.5综上所述，原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，即y＝－2x－3，x≤－1，－1，－1x1，2x－3，x≥1.作出函数的图像，如图．函数图像与x轴交点的横坐标是－32和32.从图像可知，当x≤－32或x≥32时，y≥0，即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.所以原不等式的解集为－∞，－32∪32，＋∞.(2)解法一：如图所示，在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而点B对应的实数为12，点B到点C的距离与到点A的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P在射线Bx上(不含点B)时，不等式成立，故不等式的解集为12，＋∞.解法二：原不等式⇔①x≤－1，x－3x＋11或②－1＜x＜3，x－3x＋11或③x≥3，x－3x＋11，解得①的解集为∅，②的解集为x12＜x＜3，③的解集为{x|x≥3}．综上可知，原不等式的解集为12，＋∞.解法三：将原不等式转化为|x－3|－|x＋1|－10，构造函数y＝|x－3|－|x＋1|－1，6则y＝3，x≤－1，－2x＋1，－1＜x＜3，－5，x≥3.作出函数的图像，如图．函数图像与x轴的交点是12，0.由图像可知，当x12时，有y0，即|x－3|－|x＋1|－10，所以原不等式的解集为12，＋∞.金版点睛形如|x－a|±|x－b|≤c和|x－a|±|x－b|≥c型不等式的解法这种类型的不等式在求解时有三种方法：(1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键．(2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．(3)构造函数，利用函数图像求解，这种方法体现了函数与方程的思想，准确画出函数图像并求解函数图像与x轴的交点坐标是解题的关键．[跟踪训练3]解下列不等式：(1)|x－1|－|5－x|＞2；(2)|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解(1)原不等式即为|x－1|－|x－5|2，其等价于7①x＜1，1－x5－x2或②1≤x≤5，x－15－x2或③x＞5，x－1x－52，解得①无解，②的解集为{x|4x≤5}，③的解集为{x|x5}，故原不等式的解集为(4，＋∞)．(2)①当x≤－23时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－95，所以x≤－95；②当－23x12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，所以x∈∅；③当x≥12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥75，所以x≥75.故原不等式的解集为－∞，－95∪75，＋∞.1．不等式组x＋3＞0，3x－12x－1的解集为()A．(－3,0]B．(－3,2]C．∅D.－3，－45答案B解析解不等式组x＋3＞0，①3x－12x－1，②将①式移项，得x＞－3.将②式去括号，得3x－3≤2x－1.移项、合并同类项，得x≤2.所以不等式组的解集为(－3,2]，故选B.2．不等式|4－x|≥1的解集为()A．[3,5]B．(－∞，3]∪[5，＋∞)C．[－4,4]D．R答案B解析|4－x|≥1⇒x－4≥1或x－4≤－1，即x≥5或x≤3.所以所求不等式的解集为8(－∞，3]∪[5，＋∞)．故选B.3．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为()A．(0,2)B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0)D．(－4，－2)∪(0,2)答案D解析由1＜|x＋1|＜3，得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，所以0＜x＜2或－4＜x＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．4．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．答案[1，＋∞)解析解法一：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方，得(x＋1)2≥(x－3)2，解得x≥1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．解法二：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)．5．解不等式|x＋2|＋|x－1|＜4.解|x＋2|＝0和|x－1|＝0的根－2,1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2,1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x＋2|＋|x－1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组．(1)当x≤－2时，|x＋2|＋|x－1|＜4⇔－2－x＋1－x＜4⇔－2x＜5⇔x＞－52，所以不等式组x≤－2，|x＋2|＋|x－1|＜4的解集为－52，－2.(2)当－2＜x＜1时，|x＋2|＋|x－1|＜4⇔x＋2＋1－x＜4⇔3＜4，所以不等式组－2＜x＜1，|x＋2|＋|x－1|＜4的解集为(－2,1)．(3)当x≥1时，|x＋2|＋|x－1|＜4⇔x＋2＋x－1＜4⇔2x＜3⇔x＜32，所以不等式组x≥1，|x＋2|＋|x－1|＜4的解集为1，32.因此原不等式的解集为－52，－2∪(－2,1)∪1，32＝－52，32.9