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-1-1.4.1充分条件与必要条件(教师独具内容)课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．教学重点：1.掌握充分条件的概念，理解充分条件的意义，会判断条件与结论之间的充分性.2.掌握必要条件的概念，理解必要条件的意义，会判断条件与结论之间的必要性．教学难点：1.判断条件与结论之间的充分性.2.判断条件与结论之间的必要性．【知识导学】知识点一命题的概念及结构(1)一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做□01命题．判断为真的语句是□02真命题，判断为假的语句是□03假命题．(2)当命题表示为“若p，则q”时，□04p是命题的条件，□05q是命题的结论．知识点二充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为□01真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作□02p⇒q，并且说，p是q的□03充分条件(sufficientcondition)，q是p的□04必要条件(necessarycondition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作□05p⇒/q.此时，我们就说p不是q的□06充分条件，q不是p的□07必要条件．【新知拓展】1．p⇒q的含义(1)“若p，则q”形式的命题为真命题．(2)由条件p可以得到结论q.(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q.(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的．(5)为得到结论q，具备条件p就可以推出．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是-2-说法不同而已．2．对充分条件概念的理解“若p，则q”为假命题时，p推不出q，q不是p的必要条件，p也不是q的充分条件．3．对充分条件的理解(1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(2)充分条件不是唯一的，如x2，x3等都是x0的充分条件．必要条件不是唯一的，如x0，x5等都是x9的必要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．()(2)内错角相等⇒两直线平行．()(3)“x＝0”是“x2＝2x”的必要条件．()(4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件．()(5)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．()答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件．(2)设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________条件．(3)“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________条件．答案(1)充分(2)必要(3)必要题型一充分条件、必要条件的概念及判断方法例1在以下各题中，判断哪些能p⇒q，哪些能q⇒p，并分析各题中p与q的关系．(1)p：x是整数，q：x2是整数；(2)p：ab，q：acbc(c≥0)；(3)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分．[解](1)当x是整数时，x2一定是整数，即p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)不等式acbc(c≥0)中隐含了c≠0，即此时c0，在此不等式两边同除以正数c，便得ab，即q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．(3)因为当四边形是正方形时，对角线互相垂直平分且相等，所以p⇒q，故p是q的充分-3-条件，q是p的必要条件．例2在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．[解](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，∴q是p的必要条件．(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，∴q不是p的必要条件．(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m0，解得m－14.∵m－2⇒m－14，∴q是p的必要条件．[结论探究]如果把本例中“q是p的必要条件吗？”改为“p是q的必要条件吗？”，其他不变，该如何解答呢？解(1)∵(x－2)(x－3)＝0推不出x－2＝0，∴p不是q的必要条件．(2)∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p是q的必要条件．(3)∵方程x2－x－m＝0无实根推不出m－2，∴p不是q的必要条件．金版点睛充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．2命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.3集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围.4传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件.[跟踪训练1](1)设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件；(2)在下列各题中，q是p的必要条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？-4-①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；②p：ab，q：ab1.解(1)由题意，得A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件．(2)①∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，∴q是p的必要条件．∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，∴p不是q的必要条件．②由于ab，当b0时，ab1；当b0时，ab1，故ab推不出ab1.∴q不是p的必要条件．当a0，b0，ab1时，可以推出ab；当a0，b0，ab1时，可以推出ab.∴p不是q的必要条件.题型二利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例3(1)已知p：关于x的不等式3－m2x3＋m2，q：0x3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．[解](1)记A＝{|x3－m2x3＋m2，B＝{x|0x3}，若p是q的充分条件，则A⊆B.注意到B＝{x|0x3}≠∅，分两种情况讨论：①若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；②若A≠∅，即3－m23＋m2，解得m0，要使A⊆B，应有3－m2≥0，3＋m2≤3，解得0m≤3.m0，综上可得，实数m的取值范围是m≤3.(2)由已知可得-5-A＝{|yy＝x－322－54，x∈R}＝{|yy≥－54}，B＝{x|x≥－2m}．因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－54，所以m≥58，即实数m的取值范围是m≥58.金版点睛利用充分条件或必要条件求参数的思路根据充分条件或必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件或必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．[跟踪训练2](1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；(2)已知M＝{x|a－1xa＋1}，N＝{x|－3x8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．解(1)解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝－1m，∵q是p的充分条件，∴B⊆A.当－1m＝2时，m＝－12；当－1m＝－3时，m＝13.所以m＝－12或m＝13.(2)因为N是M的必要条件，所以M⊆N.于是a－1≥－3，a＋1≤8，从而可得－2≤a≤7.故a的取值范围为－2≤a≤7.1．若M，N是两个集合，则下列命题中真命题是()-6-A．如果M⊆N，那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N，那么M⊆NC．如果M⊆N，那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N，那么N⊆M答案A解析用集合的相关定义理解、分析可知A为真命题，B，C，D为假命题．2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断答案A解析因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分条件，应选A.3．下列命题中，是真命题的是()A．“x20”是“x0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件答案B解析A中，x20⇒x0或x0，不能推出x0，而x0⇒x20，故“x20”是“x0”的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件．D中，|x|1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|1，故“|x|1”是“x2不小于1”的充分条件，故本题应选B.4．“ac0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的________条件．答案充分解析由ac0⇒b2－4ac0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根不能推出ac0.故“ac0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充分条件．5．下列各题中，q是p的必要条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解(1)因为|x|＝|y|推不出x＝y，-7-所以q不是p的必要条件．因为x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件．(2)因为△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，所以q不是p的必要条件．又因为△ABC是等腰三角形也推不出△ABC是直角三角形，所以p也不是q的必要条件．(3)因为四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形，所以q不是p的必要条件．因为四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要条件．