搜索
1第2课时充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性.【情境导学】(教师独具内容)已知p：三角形的三条边都相等．q：三角形是等边三角形．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．【知识导学】知识点一充分不必要条件一般地，如果□01p⇒q且□02q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．知识点二必要不充分条件如果□01p⇒/q且□02q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．知识点三充要条件(1)如果□01p⇒q且□02q⇒p，则称p是q的□03充分必要条件(简称为充要条件)，记作□04p⇔q.(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．(4)充要条件与数学中的□08定义有关，一个数学对象的□09定义实际上给出了这个对象的一个充要条件．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．2(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇒q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．()(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________．3(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案(1)x＝1或x＝2(2)充要(3)2题型一充要条件的概念及判断方法例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.[解](1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究]已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.金版点睛判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否4成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[跟踪训练1]指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(2)p：α2，β2，q：α＋β4，αβ4；(3)已知实数a，b，p：a0且b0，q：a＋b0且ab0.解(1)因为A∪B＝A⇔B⊆A，而A∩B＝B⇔B⊆A，所以A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．(2)由α2，β2，根据不等式的性质可得α＋β4，αβ4.即p⇒q，而由α＋β4，αβ4不能推出α2，β2.如：α＝1，β＝5满足α＋β4，αβ4，但不满足α2.所以p是q的充分不必要条件．(3)由a0且b0⇒a＋b0且ab0，并且由a＋b0且ab0⇒a0且b0，所以p是q的充要条件.题型二充要条件的证明例2已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．[证明]①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.5∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．[题型探究]已知a，b是实数，求证：a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明因为a2－b2＝1，所以a4－b4－2b2＝(a2－b2)·(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1.即a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的充分条件．另一方面，若a4－b4－2b2＝1，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a4－(b2＋1)2＝0，(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0.又a2＋b2＋1≠0，所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.因此a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的必要条件．金版点睛充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[跟踪训练2]求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac0，x1x2＝ca0，∴ac0.充分性：由ac0可得b2－4ac0及x1x2＝ca0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.题型三探求充要条件例3求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．6[解]①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－12，符合要求．②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a.(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为a≠0，a≤1，1a0⇒a0；(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为a≠0，a≤1，－2a0，1a0⇒0a≤1.综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.金版点睛探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3]已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则方程有两个大于1的实数根x1，x2：⇔2k－12－4k2≥0，x1－1x2－10，x1－1x2－10⇔k≤14，x1x2x1＋x210，x1＋x2207⇔k≤14，k22k－110，2k－120⇔k－2.所以使方程有两个大于1的实数根的充要条件是k－2.1．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件答案D解析由A∪B＝B，得AB或A＝B；反之，由AB，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．2．设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x＋y2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若x1且y1，则x＋y2.所以p⇒q；反之x＋y2⇒/x1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以q⇒/p．因此p是q的充分不必要条件．故选A.3．设x∈R，则“x－1”是“|x|1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为x－1⇒|x|1，而|x|1⇒x－1或x1，故“x－1”是“|x|1”的充分不必要条件．4．关于x的不等式|x|a的解集为R的充要条件是________．答案a0解析由题意知|x|a恒成立，∵|x|≥0，∴a0.85．已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.证明证法一：①充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.②必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.因为xy，所以y－x0，所以xy0.所以1x1y的充要条件是xy0.证法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0，故由y－xxy0⇔xy0.所以1x1y⇔xy0，即1x1y的充要条件是xy0.