2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表

1第1课时函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．教学重点：函数的概念；符号“y＝f(x)”的含义；函数的定义域和值域的求法．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义及已知函数解析式求函数定义域的方法.【情境导学】(教师独具内容)夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量相关．某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主坑人的吗？【知识导学】知识点一函数的概念(1)函数的传统定义在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有□01唯一确定的值与其对应，那么就称□02y是□03x的函数．(2)函数的近代定义一般地，给定两个□04非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有□05唯一确定的实数y与x对应，则称□06f为定义在集合A上的一个函数，记作□07y＝f(x)，x∈A.知识点二函数的定义域和值域在函数y＝f(x)，x∈A中，□01x称为自变量，□02y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的□03定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的□04值域．知识点三确定函数的两个要素(1)□01定义域；(2)□02对应关系．2知识点四两个函数相同的条件(1)□01定义域相同；(2)□02对应关系相同．知识点五求函数定义域常用的依据(1)□01分式中分母不能为零；(2)□02二次根式中的被开方数要大于等于零．【新知拓展】对函数概念的理解(1)A，B都是非空实数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y＝x－11－x就不是函数．(2)集合A就是定义域，因为给定A中的每一个x值都有唯一的y值与之对应．(3)集合B不一定是函数的值域，即B中的元素可以没有与之对应者，若将函数的值域记为C，容易得到C⊆B.(4)符号“y＝f(x)”表示“x对应的函数值”，f表示对应关系．(5)“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”．(6)f(a)(a∈A)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个数值，是常量；f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．例如，f(x)＝2x表示函数；当x＝3时，f(3)＝6，是一个常量．(7)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的实数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个实数都有定义域中的实数与之对应．()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合．()(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．()(4)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．做一做(1)对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈B3B．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝bD．若a＝b，则f(a)＝f(b)(2)已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－1)]＝()A．2B．3C．4D．5(3)求下列函数的定义域：①f(x)＝1x＋8；②f(x)＝3x－4＋5－x.答案(1)C(2)D(3)①{x|x≠－8}②43，5题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝2x＋3；(2)y＝x＋1＋12－x；(3)y＝x－1x＋1.[解](1)函数y＝2x＋3的定义域为R.(2)要使函数有意义，则x＋1≥0，2－x≠0，即x≥－1，x≠2.所以函数y＝x＋1＋12－x的定义域是[－1,2)∪(2，＋∞)．(3)要使函数有意义，则x－1≥0，x＋10，即x≥1，x－1，即x≥1，所以函数y＝x－1x＋1的定义域为[1，＋∞)．金版点睛求函数定义域的步骤与方法(1)求函数定义域的一般步骤①列出使函数解析式有意义的自变量的不等式(组)；②解不等式(组)；③把解集表示成集合或区间的形式．(2)列不等式(组)的依据①分母不为零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③零指数幂的底数不为零．4④几部分组成：若y＝f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示．若用区间表示，不同区间应该用“∪”连接．[跟踪训练1]求下列函数的定义域：(1)y＝1x＋1；(2)y＝x－1＋1－x；(3)y＝x＋1x2－1；(4)y＝(1－2x)0.解(1)要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(2)要使函数式有意义，则x－1≥0，1－x≥0，即x≥1，x≤1，所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．(3)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，x＋1x2－1有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．(4)∵1－2x≠0，即x≠12，∴函数的定义域为xx≠12.题型二求函数值或求函数的值域例2(1)已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．①求f(2)，g(2)的值；②求f[g(3)]的值；(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝2x＋1x－3；④y＝2x－x－1.[解](1)①∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.5∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.②∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.(2)①(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图像(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y＝2x＋1x－3＝2x－37x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．④(换元法)设t＝x－1，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图像(如右图)，可得函数的值域为158，＋∞.金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式通过运算确定其值域．(2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．6④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”类的形式，便于求值域．[跟踪训练2]求下列函数的值域：(1)y＝xx＋1；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)．解(1)∵y＝xx＋1＝x＋11x＋1＝1－1x＋1，且1x＋1≠0，∴函数y＝xx＋1的值域为{y|y≠1}．(2)配方，得y＝(x－2)2＋2.由x∈[1,5)，结合函数的图像可知，函数的值域为{y|2≤y11}．题型三相同函数的判断例3下列各组函数表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1C．f(x)＝1，g(x)＝xxD．f(x)＝x，g(x)＝|x|[解析]A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数．C中，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝xx的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数．D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数．[答案]B金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是7同一函数．(2)函数是两个非空实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练3]下列函数中哪个与函数y＝x相同？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.解(1)y＝(x)2＝x(x≥0)，y≥0，与函数y＝x定义域不同且值域不同，所以不相同．(2)y＝3x3＝x(x∈R)，y∈R，与函数y＝x对应关系相同，定义域和值域也都相同，所以相同．(3)y＝x2＝|x|＝x，x≥0，－x，x0，y≥0；与函数y＝x值域不同，且当x0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不相同．(4)y＝x2x的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不相同.题型四求抽象函数的定义域例4(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，求函数f(2x－1)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域为(1,4]，求函数f(x)的定义域．[解](1)∵函数f(x)的定义域为[－1,1]，∴函数f(2x－1)中自变量x的取值应满足－1≤2x－1≤1，即0≤x≤1.∴函数f(2x－1)的定义域为[0,1]．(2)因为函数f(x－1)的定义域为(1,4]，即x∈(1,4]，∴0x－1≤3，令x－1＝t，则函数f(t)的定义域为(0,3]，即函数f(x)的定义域为(0,3]．[变式探究]若函数f(x－1)的定义域为(－1,1)，如何求函数f(2x－1)的定义域？解∵函数f(x－1)的定义域为(－1,1)，∴－1x1，则－2x－10，令x－1＝t，∴函数f(t)的定义域为(－2,0)，即函数f(x)的定义域为(－2,0)．∴由－22x－10，得－12x12.8∴函数f(2x－1)的定义域为－12，12.金版点睛求抽象函数定义域的方法(1)当对应关系f所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，应将左、右两端统一，也可以用“换元法”，将较难配凑的式子化简．(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得．若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数g(x)在x∈[a，b]时的值域即为所求函数f(x)的定义域．[跟踪训练4]若函数f(x)的定义域为[－3,5]，求函数φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．解由函数f(x)的定义域为[－3,5]，得－3≤－x≤5，－3≤x≤5，即－5≤x≤3，－3≤x≤5，解得－3≤x≤3.所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]．1．函数f(x)＝1x－1＋(x－2)0的定义域为()A．[1，＋∞)B．[1,2)∪(2，＋∞)C．(1，＋∞)D．(1,2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意，知x－10，x－2≠0.解得x1，且x≠2.所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．2．如果函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3