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12.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系(教师独具内容)课程标准：1.梳理一元二次方程的解集与判别式、解集与系数的关系.2.理解配方法，运用配方法、公式法、因式分解法熟练求解一元二次方程的解集．教学重点：1.一元二次方程的解集与判别式的关系.2.一元二次方程的解集与系数的关系．教学难点：一元二次方程根与系数的关系.【情境导学】(教师独具内容)方程x2－2x＋1＝0的根为x1＝1，x2＝1；方程x2－3x＋2＝0的根为x1＝1，x2＝2；方程x2－4x＋3＝0的根为x1＝1，x2＝3；……根据以上方程特征，你能猜想到方程x2－22x＋21＝0的根为多少吗？你能写出二次项系数为1，两根分别为x1＝1，x2＝n的一元二次方程吗？【知识导学】知识点一一元二次方程的解集与判别式当方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，由□01Δ＝b2－4ac的符号情况决定方程的解集．(1)当Δ＝□02b2－4ac0时，方程的解集为－b＋b2－4ac2a，－b－b2－4ac2a.(2)当Δ＝□03b2－4ac＝0时，方程的解集为－b2a.(3)当Δ＝□04b2－4ac0时，方程的解集为∅.知识点二一元二次方程根与系数的关系当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，记方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝□01－ba，x1x2＝□02ca.【新知拓展】1．求一元二次方程各项系数的注意事项二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式．2．运用判别式的前提2运用判别式解题时，特别注意一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的隐含条件a≠0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＝t＋1(t0)的解集为{t＋1}．()(2)方程x2＝m(m0)的解集为{－－m}．()(3)方程x2－4x＋4＝0的解集为{2}．()(4)方程x2－2x－1＝0的解分别为x1，x2，则x1＋x2＝2.()(5)方程(x－3)2＝5的解集为{3＋5，3－5}．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．做一做(1)下列一元二次方程中，没有实根的是()A．x2－2x＝0B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0D．3x2＝5x－2(2)一元二次方程3(x＋3)＝4x(x＋3)的解集是()A.3，34B.－3，34C.3，－34D.－3，－34答案(1)C(2)B题型一一元二次方程的解集例1(1)一元二次方程y2－y－34＝0配方后可化为()A.y＋122＝1B.y－122＝1C.y＋122＝34D.y－122＝34(2)方程x－3x＋2＝0的解集为()A.3＋52，3－52B．{2,1}C．{4,1}D．{2，1}(3)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()3A．k≤2B．k≤0C．k2D．k0[解析](1)方程配方后得y－122＝1.故选B.(2)设x＝y，则y≥0，且原方程可变为y2－3y＋2＝0，因此可得y＝2或y＝1，从而x＝2或x＝1，所以原方程的解集为{4,1}．(3)已知方程有两个不相等的实数根，则有Δ＝(－2)2－4×1×(k－1)0，解得k2.故选C.[答案](1)B(2)C(3)C金版点睛如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解，而公式法是万能法.[跟踪训练1](1)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根(2)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是________．答案(1)A(2)m≤1解析(1)因为Δ＝(－5)2－4×2×3＝25－24＝10，所以方程有两个不相等的实数根．故选A.(2)已知一元二次方程有实数根，可得Δ＝(－2)2－4m≥0，即m≤1.题型二一元二次方程根与系数的关系例2已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值：(1)x31＋x32；(2)|x1－x2|(x1＋x2)．[解]由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3.(1)x31＋x32＝(x1＋x2)(x21－x1x2＋x22)＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－2)[(－2)2－3×(－3)]＝－26.4(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×(－3)＝16.所以|x1－x2|＝x1－x22＝4，所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8.金版点睛运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.可以利用根与系数的关系在不解方程的情况下求关于x1，x2的多项式的值.[跟踪训练2]已知一元二次方程2x2＋3x－6＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：(1)1x21＋1x22；(2)x31－x32.解由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－32，x1x2＝－3.(1)1x21＋1x22＝x21＋x22x21x22＝x1＋x22－2x1x2x21x22＝－322－2332＝94＋69＝1112.(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－322－4×(－3)＝574，所以x1－x2＝±572，所以x31－x32＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)＝±572[(x1＋x2)2－x1x2]＝±572×－3223＝±572×214＝±21578.1．方程3x(x－1)＝2(x－1)的解集为()5A.1，23B.－1，23C.－1，－23D.1，－23答案A解析当x－1＝0，即x＝1时，方程两边均为0，即x＝1是原方程的根；当x－1≠0时，方程两边同除以x－1，得3x＝2，解得x＝23.综上所述，原方程的根为x＝1或x＝23.2．方程(x－2)2＝t(t0)的解集为()A．{2－t}B．{2＋t}C．{2－t，2＋t}D．{±t}答案C解析因为t0，所以x－2＝±t，即x＝2±t.3．方程2x－12＋1x－1－1＝0的解集是()A．{2,0}B．{－3,0}C．{－2,0}D．{3,0}答案D解析设y＝1x－1，则原方程可变为2y2＋y－1＝0，因此可知y＝12或y＝－1，从而1x－1＝12或1x－1＝－1，可得x－1＝2或x－1＝－1，即x＝3或x＝0，所以原方程的解集为{3,0}．4．已知A＝{x|x2－25＝0}，B＝{x|x2－x－30＝0}，则A∩B为()A．{5}B．{－5}C．{5，－5,6}D．∅答案B解析因为A＝{5，－5}，B＝{x|(x－6)(x＋5)＝0}＝{－5,6}，所以A∩B＝{－5}．5．已知关于x的方程x2－5mx＋4＝0有两个相等的实根，求实数m的取值集合．解因为关于x的方程有两个相等的实根，所以Δ＝(－5m)2－4×1×4＝0,25m2－16＝0，即m＝±45，所以m的取值集合为－45，45.6