2019-2020学年新教材高中数学 课后作业47 两角差的余弦公式 新人教A版必修第一册

1课后作业(四十七)复习巩固一、选择题1．下列函数中，周期为4π的是()A．y＝sin4xB．y＝cos2xC．y＝tanx2D．y＝sinx2[解析]D中：T＝2π12＝4π，故选D.[答案]D2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是()A．－43B．±43C.3D．43[解析]∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.[答案]A3．若将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3[解析]因为T＝2π2＝π，T4＝π4，y＝2sin2x－π4＋π6，所以y＝2sin2x－π3.故选D.[答案]D4．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是()2A．f(x)在π4，π2上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2[解析]因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，选B.[答案]B5．函数y＝2sinπ6－2x(x∈[0，π])的单调递增区间是()A.0，π3B.π12，7π12C.π3，5π6D.5π6，π[解析]y＝－2sin2x－π6，由π2＋2kπ≤2x－π6≤32π＋2kπ(k∈Z)，可得π3＋kπ≤x≤56π＋kπ(k∈Z)，∵x∈[0，π]，∴单调增区间为π3，5π6.[答案]C二、填空题6．已知α∈π，3π2，tanα＝2，则cosα＝_____________.[解析]由tanα＝sinαcosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，联立得cos2α＝15，由α∈π，3π2知cosα0，所以cosα＝－55.[答案]－557．函数y＝16－x2＋sinx的定义域为______________．[解析]依题意，得16－x2≥0，sinx≥0.∴－4≤x≤4，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.3如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．[答案][－4，－π]∪[0，π]8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．[解析]任取x0，则－x0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝sinx，x≥0－sinx，x0[答案]f(x)＝sinx，x≥0－sinx，x0三、解答题9．已知tanα＝－34.(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；(2)求sin4π－αcos3π＋αcosπ2＋αcos152π－αcosπ－αsin3π－αsin－π－αsin132π＋α的值．[解](1)2＋sinαcosα－cos2α＝2sin2α＋cos2α＋sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2sin2α＋sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α＋tanα＋11＋tan2α，把tanα＝－34代入，得原式＝2×－342＋－34＋11＋－3424＝98－34＋11＋916＝2225.(2)原式＝－sinα－cosα－sinαcos7π＋π2－α－cosαsinπ－α[－sinπ＋α]sin6π＋π2＋α＝－sin2αcosα－cosπ2－α－cosαsinα[－－sinα]sinπ2＋α＝sin2αcosαsinα－cosαsin2αcosα＝－sinαcosα＝－tanα，把tanα＝－34代入，得原式＝34.10．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y1；②y1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．[解]列表如下：x－π－π20π2πsinx0－10101－2sinx131－11描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y1，在直线y＝1下方部分时y1，所以①当x∈(－π，0)时，y1；②当x∈(0，π)时，y1.5(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1a3或－1a1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．综合运用11．化简1－2sinπ＋4cosπ＋4等于()A．sin4－cos4B．cos4－sin4C．－sin4－cos4D．sin4＋cos4[解析]原式＝1－2sin4cos4＝sin4－cos42＝|sin4－cos4|，因为54π432π，所以cos4sin4.所以|sin4－cos4|＝cos4－sin4.故选B.[答案]B12．函数y＝lncosx－x2xπ2的大致图象是()[解析]∵lncosπ4＝lncos－π4＝ln22ln1＝0，故选A.[答案]A13．在△ABC中，Cπ2，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是()A．f(cosA)f(cosB)B．f(sinA)f(sinB)C．f(sinA)f(cosB)D．f(sinA)f(cosB)[解析]由题意，在△ABC中，由Cπ2，可得0A＋Bπ2，从而可得，0Aπ2－B⇒sin0sinAsinπ2－B1，即0sinAcosB1，根据题意函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，故f(sinA)f(cosB)，即C正确．[答案]C614．对于函数f(x)＝sinx，sinx≥cosx，cosx，sinxcosx，下列命题中正确的是()A．该函数的值域是[－1,1]B．当且仅当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，函数取得最大值1C．当且仅当x＝2kπ－π2(k∈Z)时，函数取得最小值－1D．当且仅当2kπ＋πx2kπ＋3π2(k∈Z)时，f(x)0[解析]画出此函数的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是－22，1；当且仅当x＝2kπ＋π2或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋5π4，k∈Z时，函数取得最小值－22；当且仅当2kπ＋πx2kπ＋3π2，k∈Z时，f(x)0，可知A，B，C不正确，故选D.[答案]D15．函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝12，求a及此时f(x)的最大值．[解](1)∵f(x)＝2cos2x－2acosx－2a－1＝2cosx－a22－a22－2a－1，且cosx∈[－1,1]．当a2－1时，则a－2时，g(a)＝1；当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，g(a)＝－a22－2a－1；当a21，即a2时，g(a)＝－4a＋1.∴g(a)＝1，a－2，－a22－2a－1，－2≤a≤2，－4a＋1，a2.(2)g(a)＝12，则a＝－1.7∴f(x)＝2cosx＋122＋12，∴f(x)max＝5.