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1课后作业(三十六)复习巩固一、选择题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.m11B.m12C.12m－1D.11m－1[解析]设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝11m，即x＝11m－1.[答案]D2．有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝t2－12D．u＝2t－2[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.[答案]C3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为()A．300只B．400只C．500只D．600只2[解析]由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.[答案]A4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10C．lg10.1D．10－10.1[解析]两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，则lgE1E2＝25(m2－m1)＝25×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而E1E2＝1010.1.故选A.[答案]A5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a，则需经过的天数为()A．125B．100C．75D．50[解析]由已知，得49a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为827a，则827a＝a·e－kt1，∴827＝(e－k)t1＝，∴t150＝32，t1＝75.[答案]C二、填空题36．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．[解析]设2010年年产量是a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝8n－1.[答案]8n－17．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．[解析]由题意，得192＝e0＋b＝eb，①48＝e22k＋b，②②÷①，得e22k＝(e11k)2＝14，故e11k＝12.故食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝123×192＝24(小时)．[答案]248．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．[解析]∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有1＝a×0.5＋b，1.5＝a×0.25＋b，解得a＝－2，b＝2.∴y＝－2×(0.5)x＋2.当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．[答案]1.75三、解答题9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[解](1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2Q10.解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log28010＝5log28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15m/s.410．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：生长时间24589高度2.013.013.504.995.47(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式；(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年．[解](1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型．故所求的函数关系式可设为y＝kx＋b(其中k≠0，x∈N＋)．把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组5k＋b＝3.50，9k＋b＝5.47，解得k＝0.4925，b＝1.0375.因此所求的函数关系式为y＝0.4925x＋1.0375(x∈N＋)．分别将x＝2，x＝4，x＝8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系．(2)令0.4925x＋1.0375＝50，解得x≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树．综合运用11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示．(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；5(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．[解](1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y＝10t；当t＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝1160.1－a，得a＝0.1，∴当t0.1时，y＝116t－0.1.∴y＝10t，0≤t≤0.1，116t－0.1，t0.1.(2)由题意可知，116t－0.10.25，得t0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室．12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋kx(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：x(天)10202530Q(x)(件)110120125120已知第10天的日销售收入为121百元．(1)求k的值；(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值．[解](1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝1＋k10×110＝121，解得k＝1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．(3)由(2)知6当1≤x25时，y＝x＋100x在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；当25≤x≤30时，y＝150x－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．