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1课时作业(十二)1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c＝()A.22B．1C.2D．2答案D2．在△ABC中，a＝33，b＝3，A＝120°，则B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案A3．下列对三角形的情况的判断中，正确的是()A．a＝4，b＝5，A＝30°，有一解B．a＝5，b＝4，A＝60°，有两解C．a＝3，b＝2，A＝120°，有一解D．a＝3，b＝6，A＝60°，无解答案D4．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则∠B的值为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析∵sinAa＝sinBb，∴cosBb＝sinBb，∴cosB＝sinB.从而tanB＝1，又0°B180°，∴B＝45°5．(2013·湖南)在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B为()A.π3B.π6C.π3或23πD.π6或56π答案C解析由3a＝2bsinA，得3sinA＝2sinB·sinA.2∴sinB＝32.又a＝23bsinAbsinA.∴B＝π3或2π3.6．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是()A．在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，a＝b⇔sin2A＝sin2BC．在△ABC中，asinA＝b＋csinB＋sinCD．在△ABC中，正弦值较大的角所对的边也较大答案B解析对于B项，当a＝b时，sinA＝sinB且cosA＝cosB，∴sin2A＝sin2B，但是反过来若sin2A＝sin2B.2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.不一定a＝b，∴B错误．7．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c为()A．3∶1∶1B．2∶1∶1C.2∶1∶1D.3∶1∶1答案D解析由已知得A＝120°，B＝C＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶1∶1.8．在△ABC中，若cosAcosB＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析∵cosAcosB＝sinBsinA，∴sin2A＝sin2B，2A＝2B，或2A＝π－2B.∴A＝B或A＋B＝π2.9．在△ABC中，内角A，B，C的对边的边长分别是a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB，则角B的大小为()3A.π3B.π6C.π12D.π4答案A10．(2015·宁波高一检测)已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且acosC＋12c＝b，则角A等于()A.π3B.π4C.π6D.π12答案A11．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________．答案102解析∵tanA＝13⇒sinA＝1010.由正弦定理，知BCsinA＝ABsinC⇒AB＝BCsinA·sinC⇒sin150°1010＝102.12．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则a(sinC－sinB)＋b(sinA－sinC)＋c(sinB－sinA)＝________．答案0解析∵asinA＝bsinB，∴asinB＝bsinA.同理可得asinC＝csinA且bsinC＝csinB.∴原式＝0.13．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，则该三角形的形状是________．答案直角三角形解析由已知条件，得lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B.∴sin2C－sin2A＝sin2B，由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故三角形为直角三角形．14．已知在△ABC中，∠A＝45°，a＝2，c＝6，解此三角形．4解析由正弦定理asinA＝csinC，得sinC＝62sin45°＝62×22＝32.因为∠A＝45°，ca，所以∠C＝60°或120°.所以∠B＝180°－60°－45°＝75°或∠B＝180°－120°－45°＝15°.又因为b＝asinBsinA，所以b＝3＋1或3－1.所以∠C＝60°，∠B＝75°，b＝3＋1或∠C＝120°，∠B＝15°，b＝3－1.15．关于x的方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，其中a，b，A，B分别是△ABC的边和角，试判断△ABC的形状．解析由题意知bcosA＝acosB，由正弦定理有asinA＝bsinB，所以sinBcosA＝sinAcosB，所以sin(A－B)＝0.所以A＝B，所以△ABC是等腰三角形．16．在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．解析(1)由C－A＝π2和A＋B＋C＝π，得2A＝π2－B，0Aπ4.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝13，∴sinA＝33.(2)由(1)得cosA＝63.又由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝sinAsinBAC＝32.所以S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12AC·BC·cosA＝32.例1为何说任意一个三角形中，一边与其所对应的角的正弦值之比都等于该三角形的外接圆的直径，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)?【解析】如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R(a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，R为外接圆半径)．5如图2，当△ABC为锐角三角形时，连接BO交圆O于D，连接CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD中，asinA＝asinD＝2R，同理，bsinB＝csinC＝2R.即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.如图3，当△ABC为钝角三角形时，连接BO交圆O于D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以asinA＝asin（180°－D）＝asinD＝2R，同理，bsinB＝csinC＝2R，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.综上所述，对于任意△ABC，asinA＝bsinB＝csinC＝2R恒成立．例2在△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，并且a·b＝b·c＝c·a.求证：△ABC为正三角形．【证明】如图所示，由a·b＝b·c，得|a|·|b|cos(π－C)＝|b|·|c|cos(π－A)．∴|a|cosC＝|c|cosA.又由正弦定理，得sinAcosC＝sinCcosA.∴sin(A－C)＝0，∴A＝C.同理可由a·b＝c·a，得B＝C.∴A＝B＝C.即△ABC为等边三角形．6