2019-2020学年新教材高中数学 课后作业21 函数奇偶性的概念 新人教A版必修第一册

1课后作业(二十一)复习巩固一、选择题1．下列函数为奇函数的是()A．y＝－|x|B．y＝2－xC．y＝1x3D．y＝－x2＋8[解析]A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．[答案]C2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()[解析]选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.[答案]B3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．[答案]B4．对于定义在R上的函数f(x)，有下面四个结论：①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．2其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]①正确；②错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；③正确；④错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．[答案]B5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[解析]∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．[答案]A二、填空题6．奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.[解析]由奇函数f(x)的定义域关于原点对称，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1.[答案]－17．函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．[解析]∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．∴f(－1)＝－f(1)＝－3.[答案]－38．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.[解析]由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.[答案]－5三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2＋xx＋1；(2)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；3(3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1.[解](1)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以函数f(x)＝x2＋xx＋1不具有奇偶性．(2)1－x2≥0，|x＋2|≠2，∴－1≤x≤1且x≠0，∴定义域为{x|－1≤x≤1，且x≠0}．∴f(x)＝1－x2x，∴f(－x)＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)的定义域为R，f(－x)＝x2＋|x－a|＋1.又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1，当a＝0时，f(－x)＝f(x)，此时f(x)为偶函数；当a≠0时，|x－a|≠|x＋a|，此时f(x)不具有奇偶性．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．[解](1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.4(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)f(3)．综合运用11．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数[解析]∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．综上，选D.[答案]D12．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1[解析]由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.[答案]B13．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a等于________．5[解析]函数f(x)的定义域为{xx≠－12，且x≠a.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝12.[答案]1214．已知y＝f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．[解析]因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.[答案]515．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．[解](1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.