2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步阶段性测试题 新人教B版必修2

1第二章平面解析几何初步(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x＋3y－5＝0的倾斜角为()A．－30°B．60°C．120°D．150°解析：直线的斜率为－13＝－33，故倾斜角为150°.答案：D2．以(－1,2)为圆心，5为半径的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析：圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0，故选C．答案：C3．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是()A．x＋y＝5B．x－y＝5C．x＋y＝5或x－4y＝0D．x－y＝5或x＋4y＝0解析：若直线过原点，则设直线方程为y＝kx，将(4,1)代入，得1＝4k，∴k＝14，∴y＝14x，即x－4y＝0，若直线不过原点，设直线方程为x＋y＝a，将(4,1)代入，得a＝5，即x＋y＝5，故选C．答案：C24．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是()A．12B．33C．32D．3解析：令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．答案：D5．已知在空间坐标系中，A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点不构成三角形解析：|AB|＝2＋12＋4－02＋3－12＝29，|AC|＝5＋12＋8－02＋5－12＝116＝229，|BC|＝5－22＋8－42＋5－32＝29，∴|AB|＋|BC|＝|AC|，即三点在同一条直线上．答案：D6．已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：(2a－1)x－ay－1＝0平行，则a的值是()A．0或1B．1或14C．0或14D．14解析：∵l1∥l2，12a－1＝2a－a≠－1－1，∴a＝14，当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：x＋1＝0，l1∥l2，∴a＝0或a＝14，故选C．答案：C7．如图，直线y＝ax－1a的图象可能是()3解析：当a＞0时，－1a＜0；当a＜0时，－1a＞0，故选A．答案：A8．过圆x2＋y2－6y－11＝0外一点P(4，－1)，作圆的两条切线，切点为A，B，则直线AB的方程为()A．x－y－2＝0B．x－y＋4＝0C．2x－2y＋1＝0D．x＋y＋3＝0解析：圆的方程可化为x2＋(y－3)2＝20，C(0,3)，切点A，B在以CP为直径的圆上，∴圆心(2,1)，半径为1242＋42＝22，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝8，即x2＋y2－4x－2y－3＝0.AB所在直线即为两圆的相交弦所在直线，∴AB所在直线的方程为x－y－2＝0，故选A．答案：A9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是()A．6B．4C．5D．1解析：圆x2＋y2＝1的圆心为C(0,0)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝259＋16＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值是d－r＝5－1＝4.答案：B10．过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0解析：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，则ab＝12，1a＋3b＝1，4∴a＝2，b＝6.∴x2＋y6＝1，即3x＋y－6＝0，故选A．答案：A11．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()A．y＝3xB．y＝－3xC．y＝33xD．y＝－33x解析：圆心为(－2,0)，r＝1.设所求直线l：y＝kx，即kx－y＝0.∴|－2k|k2＋1＝1，∴k＝±33，又∵切点在第三象限，故k＝33，故选C．答案：C12．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝2B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题可知，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2＝2r＋32，∴r＝2，则b－6a－6＝1，|a＋b－2|2＝2.∴a＝2，b＝2，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是__________．5解析：若直线在x轴上的截距为0，可设直线方程为y＝kx，将A(1,1)代入，得k＝1，∴直线方程为y＝x.若直线在x轴上的截距不为0，可设直线方程为x＋y＝a，将A(1,1)代入，得a＝2，∴直线方程为x＋y＝2.答案：x－y＝0或x＋y－2＝014．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析：易知△ABC是边长为2的等边三角形，故圆心C(1，a)到直线AB的距离为3，即|a＋a－2|a2＋1＝3，解得a＝4±15.答案：4±1515．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被C截得弦长为23时，则a＝________.解析：C(a,2)，则由题可得|a－2＋3|22＋(3)2＝4，∴a＝2－1或a＝－2－1(舍)．答案：2－116．已知点P是直线x＋y＋6＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则当四边形PACB的面积最小时，点P的坐标为________．解析：如图所示，四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|＝|PC|2－1，要使S最小，需|PC|最小，当CP与直线x＋y＋6＝0垂直时，|PC|取得最小值，此时直线PC的方程为y－1＝x－1，即x－y＝0，与方程x＋y＋6＝0联立得P(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.(1)求过点A(3,2)，且与l垂直的直线方程；(2)求与l平行，且到点P(3,0)的距离为5的直线的方程．解：(1)kl＝2，6∴过A(3,2)且与l垂直的直线方程为y－2＝－12(x－3)，即x＋2y－7＝0.(2)设所求直线方程为2x－y＋n＝0，则|3×2－0＋n|5＝5，∴n＝－1或n＝－11，故直线方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0.18．(12分)已知圆M经过C(1，－1)，且圆心为(1,1)．(1)求圆M的方程；(2)点P是圆M上的动点，求点P到直线3x＋4y＋8＝0距离的最大值和最小值．解：(1)r＝1－12＋1＋12＝2.∴圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)圆心(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离d＝|3＋4＋8|5＝3，∴P到直线距离的最大值为5，最小值为1.19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为22的圆C经过原点O.(1)求圆C的方程；(2)求经过点(0,2)，且被圆C所截得弦长为4的直线方程．解：(1)设圆心C(a，a＋4)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－4)2＝8，代入原点得a＝－2，故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，经检验符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，圆心(－2,2)到直线y＝kx＋2的距离为d＝|－2k－2＋2|1＋k2＝|2k|1＋k2，圆的半径r＝22，∴22＋d2＝r2，即4＋4k21＋k2＝8，∴1＋k2＝k2，可知k无解，综上可知直线方程为x＝0.20．(12分)已知圆C与x轴的交点分别为A(－1,0)，B(3,0)，且圆心在直线2x－y＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)求与圆C相切于点B(3,0)的切线方程；(3)若圆C与直线y＝x＋m有公共点，求实数m的取值范围．解：(1)由圆与x轴的交点分别为A(－1,0)，B(3,0)，∴圆心在AB的垂直平分线上，即在x＝1上，7由x＝1，2x－y＝0，得x＝1，y＝2，∴圆心为(1,2)，r2＝(1－3)2＋(2－0)2＝8，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝8.(2)由(1)知C(1,2)，∴kBC＝2－01－3＝－1，∴过B点的切线的斜率为1，∴切线方程为y－0＝x－3，即x－y－3＝0.(3)由题得|1－2＋m|2≤22，∴|m－1|≤4，∴－3≤m≤5.21．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；(2)若圆M经过A，B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．解：(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC：x＝0.又CD：2x－2y－1＝0，由x＝0，2x－2y－1＝0，得C0，－12，设B(b,0)，则AB的中点Db2，12，代入方程2x－2y－1＝0，解得b＝2，所以B(2,0)．(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①由圆M与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线为y＋x＋3＝0，②①②联立可得，M－12，－52，半径|MA|＝14＋494＝502，所以所求圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.22．(12分)平面上有A(1,0)，B(－1,0)两点，已知圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4.8(1)在圆上求一点P，使△ABP面积最大，并求出此面积；(2)求使|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P的坐标．解：(1)|AB|＝2，要使△ABP面积最大，即找到圆上到x轴距离最大的点，圆心坐标为(3,4)，到x轴的距离为4.故圆上点到x轴的最大距离为4＋2＝6，S△ABP＝12×2×6＝6，此时P点坐标为(3,6)．(2)设P点坐标为(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x－1)2＋y2＋(x＋1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，则要使|OP|最小．又P为圆上的点，则|OP|最小值为32＋42－2＝3.此时直线OP的方程为y＝43x.解方程组y＝43x，x－32＋y－42＝4，解得x＝95，y＝125或x＝215，y＝285(舍去)．所以|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P的坐标为95，125.