1第二章章末测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,下列等式不成立的是()A.c=a2+b2-2abcosCB.asinA=bsinBC.asinC=csinAD.cosB=a2+c2-b22abc答案D解析很明显A,B,C成立;由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac,所以D不成立.2.已知△ABC中,c=6,a=4,B=120°,则b等于()A.76B.219C.27D.27答案B解析由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=76,所以b=219.3.已知△ABC中,a=4,b=43,A=30°,则B等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°答案D解析由正弦定理,得asinA=bsinB.所以sinB=basinA=434sin30°=32.又ab,则AB,所以B=60°或120°.4.已知三角形的三边长分别为a,b,a2+ab+b2,则三角形的最大内角是()A.135°B.120°C.60°D.90°答案B解析a2+ab+b2a,a2+ab+b2b,则长为a2+ab+b2的边所对的角最大.由余弦定理,得cosα=a2+b2-(a2+b2+ab)2ab=-12,所以三角形的最大内角是120°.5.在△ABC中,周长为7.5cm,且sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,则下列结论:①a∶b∶c=4∶5∶6;2②a∶b∶c=2∶5∶6;③a=2cm,b=2.5cm,c=3cm;④A∶B∶C=4∶5∶6.其中正确的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个答案C6.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元答案C解析三角形空地的面积为12×20×30×sin150°=150(平方米),所以购买草皮要150a元.7.在△ABC中,C=90°,0°A45°,则下列各式中正确的是()A.sinAcosAB.sinBcosAC.sinAcosBD.sinBcosB答案D解析因为A+B=90°,则sinA=cosB,sinB=cosA.又0°A45°,所以sinAcosA,45°B90°,sinBcosB.8.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π33答案B解析由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),则b2+a2-c2=ab.由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=12,所以C=π3.9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A2=b+c2c,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形答案A解析由cos2A2=1+cosA2=b+c2c,得cosA=bc,又cosA=b2+c2-a22bc,以上两式整理,得c2=a2+b2,∴C=90°,故△ABC为直角三角形.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3,则△ABC的面积是()A.3B.932C.332D.33答案C解析利用所给条件以及余弦定理整体求解ab的值,再利用三角形面积公式求解.∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①∵C=π3,∴c2=a2+b2-2abcosπ3=a2+b2-ab.②由①②得-ab+6=0,即ab=6.∴S△ABC=12absinC=12×6×32=332.11.在△ABC中,若ABC,b=10,且a+c=2b,C=2A,则a与c的值分别为()A.8,10B.10,10C.8,12D.12,8答案C解析∵C=2A,∴sinC=sin2A=2sinA·cosA.由正弦定理,余弦定理可得c=2a·100+c2-a22×10c.将a=20-c代入上式整理,得c2-22c+120=0,解得4c=10(舍去)或c=12,∴a=8.12.已知平面上有四点O,A,B,C,满足OA→+OB→+OC→=0,OA→·OB→=OB→·OC→=OC→·OA→=-1,则△ABC的周长是()A.3B.6C.36D.96答案C解析由已知得O是△ABC的重心,由OA→·OB→=OB→·OC→,得OB→·(OA→-OC→)=0.∴OB→·CA→=0.∴OB⊥CA.同理,OA⊥BC,OC⊥AB.∴△ABC为等边三角形.故∠AOB=∠BOC=∠COA=2π3,|OA→|=|OB→|=|OC→|=2.在△AOB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos2π3=6,∴AB=6,故△ABC的周长是36.讲评本题是以向量的数量积给出条件,通过计算得出三角形中的一些量,再利用余弦定理可解.二、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC中,A=30°,C=105°,b=8,则a=________.答案42解析B=180°-30°-105°=45°,由正弦定理,得a=sinAsinBb=sin30°sin45°×8=42.14.在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则AC=________.答案3解析在△ABC中,由余弦定理,得cosA=cos120°=AB2+AC2-BC22×AB×AC,即25+AC2-492×5×AC=-12.解得AC=-8(舍去)或AC=3.15.(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为5________.答案-24解析依题意得,△ABC的三边长分别为a,2a,2a(a0),则最大边2a所对的角的余弦值为a2+(2a)2-(2a)22a·2a=-24.16.甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼高为________m,乙楼高为________m.答案2034033解析如下图所示,甲楼高为AB,乙楼高为CD,AC=20m.则在△ABC中,∠BAC=90°,AC=20(m),所以AB=ACtan60°=203(m),在△BCD中,BC=40(m),∠BCD=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°-30°=30°,则∠BDC=180°-30°-30°=120°.由正弦定理,得BCsin∠BDC=CDsin∠CBD,所以CD=sin∠CBDsin∠BDCBC=4033.三、解答题(本大题共70分)17.(本小题满分10分)已知A,B,C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,若cosBcosC-sinBsinC=12.(1)求A;(2)若a=23,b+c=4,求△ABC的面积.思路分析(1)转化为求cosA;(2)求出bc的值即可.解析(1)∵cosBcosC-sinBsinC=12,∴cos(B+C)=12.∵A+B+C=π,∴cos(π-A)=12.6∴cosA=-12.又∵0Aπ,∴A=2π3.(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc·cosA.则(23)2=(b+c)2-2bc-2bc·cos2π3,∴12=16-2bc-2bc·(-12).∴bc=4.∴S△ABC=12bc·sinA=12×4×32=3.18.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AC=2,BC=1,cosC=34.(1)求AB的值;(2)求sin(2A+C)的值.解析(1)由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=4+1-2×2×1×34=2.∴AB=2.(2)由cosC=34且0Cπ,得sinC=1-cos2C=74.由正弦定理,得ABsinC=BCsinA.解得sinA=BCsinCAB=148.所以cosA=528.由倍角公式,得sin2A=2sinAcosA=5716,且cos2A=1-2sin2A=916,故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=378.19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-14.7(1)求sinC的值;(2)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长.解析(1)∵cos2C=1-2sin2C=-14,0Cπ,∴sinC=104.(2)当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理asinA=csinC,得c=4.由cos2C=2cos2C-1=-14及0Cπ,得cosC=±64.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2±6b-12=0(b0),解得b=6或b=26.故b=6,c=4或b=26,c=4.20.(本小题满分12分)(2013·新课标全国)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知,得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2×3×12cos30°=74,故PA=72.(2)设∠PBA=α,由已知得3sin150°=sinαsin(30°-α),化简得3cosα=4sinα,所以tanα=34,即tan∠PBA=34.21.(本小题满分12分)如图,A,C两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度,沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度,沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.8(1)求A,C两岛之间的直线距离;(2)求∠BAC的正弦值.解析(1)在△ABC中,由已知,AB=10×5=50,BC=10×3=30,∠ABC=180°-75°+15°=120°.根据余弦定理,得AC2=502+302-2×50×30cos120°=4900,所以AC=70.故A,C两岛之间的直线距离是70海里.(2)在△ABC中,由正弦定理,得BCsin∠BAC=ACsin∠ABC.所以sin∠BAC=BCsin∠ABCAC=30sin120°70=3314.故∠BAC的正弦值是3314.22.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=13,f(C2)=-14,且C为锐角,求sinA.解析(1)f(x)=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3+1-cos2x2=12cos2x-32sin2x+12-12cos2x=12-32sin2x.所以当2x=-π2+2kπ,即x=-π4+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,f(x)最大值=1+32,f(x)的最小正周期T=2π2=π,9故函数f(x)的最大值为1+32,最小正周期为π.(2)由f(C2)=-14,即12-32sinC=-14,解得sinC=32.又C为锐角,所以C=π3.由cosB=13,求得sinB=223.因此sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=223×12+13×32=22+36.