2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.2 平面直

12.1.2平面直角坐标系中的基本公式课时跟踪检测[A组基础过关]1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：∵A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，∴|AB|＝1－52＋4－52＝42＋12＝17；|AC|＝4－52＋1－52＝12＋42＝17；|BC|＝4－12＋1－42＝32＋32＝32.显然△ABC为等腰三角形．答案：B2．如果一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是()A．(－3,1)或(7,1)B．(2，－3)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1)D．(2，－3)或(2,5)解析：设B(x,1)，由两点间距离公式，得5＝x－22＋1－12，解得x＝－3或x＝7.答案：A3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于()A．5B．42C．210D．25解析：设A(a,0)，B(0，b)，由中点坐标公式得：a＋02＝2，0＋b2＝－1，∴a＝4，b＝－2，∴A(4,0)，B(0，－2)，|AB|＝4－02＋0＋22＝25.故选D．答案：D4．若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为2()A．(－2,0)B．(1,0)C．32，0D．(34，0)解析：设M(x,0)，(x0)，则x2＋02＝52＋－32，∴x2＝34，∴x＝34，故选D．答案：D5．已知点M(a，b)关于x轴的对称点为N，点M关于y轴的对称点为P，则|PN|的长度为()A．2a2＋b2B．a2＋b2C．0D．2a解析：N(a，－b)，P(－a，b)，∴|PN|＝－a－a2＋[b－－b]2＝2a2＋b2，故选A．答案：A6．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．解析：由题可得x－22＝1，5－32＝y，∴x＝4，y＝1.∴|OP|＝x2＋y2＝17.答案：177．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点D(5,4)，则腰长为________．解析：|BD|＝12|BC|＝2，|AD|＝5－32＋4－02＝25，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|＝22＋252＝26.答案：268．已知△ABC三顶点的坐标A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，求BC边上的高AD的长度．解：由两点间距离公式得d(A，B)＝221，d(B，C)＝34，d(A，C)＝221，∴|AB|＝|AC|.3∴△ABC为等腰三角形．∴D为BC的中点．由中点坐标公式得D点坐标为D－192，12，∴d(A，D)＝－192－32＋12－82＝5342.即AD的长度为5342.[B组技能提升]1．在直角坐标系中，O是坐标原点，P(1,2)，P′(－1，－2)，若规定PP′＝－|PP′|，则OP′为()A．25B．5C．－5D．5解析：OP′＝－|OP′|＝－－12＋－22＝－5，故选C．答案：C2．已知点A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD为平行四边形(ABCD四点逆时针排列)，则点D的坐标为()A．(5,6)B．(6,5)C．(－5,6)D．(－6,5)解析：解法一：设D(x，y)，则|AD|＝|BC|，|DC|＝|AB|，∴x－12＋y－52＝42＋12＝17，x－32＋y－22＝4＋16＝20.解得x＝5，y＝6，∴D(5,6)，故选A．解法二：设D(x，y)，∵AC的中点与BD的中点重合，∴1＋32＝－1＋x2，5＋22＝1＋y2.∴x＝5，y＝6.答案：A3．已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1,6)，R(－4,2)，则顶点A的坐标为________．解析：设A(x0，y0)，则由P是AB的中点，得B(6－x0，－4－y0)，由Q是BC的中点，得C(x0－4,16＋y0)，4∵R是CA的中点，∴x0＋x0－42＝－4，y0＋16＋y02＝2，∴x0＝－2，y0＝－6，∴A(－2，－6)．答案：(－2，－6)4．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是________．解析：|AB|＝a＋1－52＋a－4－2a＋12＝2a2－2a＋25＝2a－122＋2412，当a＝12时，|AB|有最小值722.答案：125．用解析法证明：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．证明：以两条对角线的交点为原点O，对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图所示)．设A(－a,0)，B(0，－b)，C(c,0)，D(0，d)，则CD的中点Ec2，d2，AB的中点H－a2，－b2，又圆心G到四个顶点的距离相等，故圆心G的纵坐标等于BD中点的纵坐标，G的横坐标等于AC中点的横坐标，即圆心Gc－a2，d－b2，∴|OE|2＝c2＋d24，|GH|2＝c2＋d24，∴|OE|＝|GH|，结论成立．6．已知函数f(x)＝x2－2x＋2＋x2－4x＋8，求f(x)的最小值．解：∵f(x)＝x2－2x＋2＋x2－4x＋8＝x－12＋0－12＋x－22＋0－22，5上式表示点P(x,0)与点A(1,1)的距离加上点P(x,0)与点B(2,2)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(1,1)，B(2,2)的距离之和的最小值．由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点A′(1，－1)和B(2,2)间的距离．∴[f(x)]min＝1－22＋－1－22＝10.