搜索
1课时作业(二十一)(第一次作业)1．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinxC．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81答案C解析A，D不能保证是正数之和，sinx取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x＝ln2时等号成立．2．已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则（a＋b）2cd的最小值是()A．0B．1C．4D．4答案D解析（a＋b）2cd＝（x＋y）2xy≥4xyxy＝4，当且仅当x＝y时等号成立．3．已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5答案C解析∵a＋b＝2，∴y＝(1a＋4b)(a＋b2)＝a＋b2a＋4a＋4b2b＝12＋b2a＋2ab＋2≥52＋2b2a·2ab＝52＋2＝92，当且仅当a＝23，b＝43时等号成立．4．设a1，b1且ab－(a＋b)＝1，那么()A．a＋b有最小值2(2＋1)B．a＋b有最大值(2＋1)2C．ab有最大值2＋1D．ab有最小值2(2＋1)答案A5．已知x0，y0，lg2x＋lg8y＝lg2，则1x＋13y的最小值为()A．2B．222C．4D．23答案C6．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为()A．3B．6C．9D．12答案A7．下列不等式①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③|ba＋ab|≥2；④2a2b2a2＋b2≤ab.其中恒成立的是()A．①④B．③④C．②③D．①②答案C解析ba与ab同号，|ba＋ab|＝|ba|＋|ab|≥2.8．已知x0，y0，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3解析∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3.9．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．答案233解析x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤(x＋y2)2＋1.∴34(x＋y)2≤1.∴x＋y≤233.当且仅当x＝y＝33时等号成立．10．当0x2时，不等式x(2－x)≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案[1，＋∞)解析∵0x2，∴2－x0，∴x(2－x)≤(x＋2－x2)2＝1.∴a≥1.11．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案17603解析设水池的造价为y元，长方体底的一边长为xm，由于底面积为4m2，所以另一边长为4xm．那么y＝120·4＋2·80·(2x＋2·4x)＝480＋320(x＋4x)≥480＋320·2x·4x＝1760(元)．当x＝2，即底为边长为2m的正方形时，水池的造价最低，为1760元．12．已知x0，y0，lgx＋lgy＝1，求2x＋5y的最小值．解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，∴2x＋5y≥210xy＝2.当且仅当2x＝5y，即x＝2，y＝5时，等号成立．故2x＋5y的最小值为2.13．(1)已知x－2，求函数y＝2x＋1x＋2的最大值．(2)求y＝x2＋5x2＋4的最小值．解析(1)∵x－2，∴x＋20，－(x＋2)0.∴y＝2(x＋2)＋1x＋2－4＝－[－2(x＋2)＋－1x＋2]－4≤－2－2（x＋2）·－1x＋2－4＝－22－4.当且仅当－2(x＋2)＝－1x＋2(x－2)，即x＝－2－22时，y取最大值－22－4.(2)令t＝x2＋4，则y＝f(t)＝t＋1t，由f(t)＝t＋1t(t≥2)的单调性，知y＝t＋1t在[2，＋∞)上是增函数．∴t＝2时，f(t)min＝2＋12＝52，即当x2＋4＝2，也就是x＝0时，ymin＝52.14．求证：(a＋b2)2≤a2＋b22.证明(a＋b2)2＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22(当且仅当a＝b时，“＝”成立)．415．已知a，b都是正数，求证：ab＋4a＋b＋4≥8ab.证明∵ab＋4a＋b＋4＝(a＋1)(b＋4)，又∵a0，b0，∴a＋1≥2a0，b＋4≥4b0，当且仅当a＝1，b＝4时取等号．∴(a＋1)(b＋4)≥8ab，当且仅当a＝1，b＝4时取等号．16．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解析(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13（200－x），20x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x（200－x），20x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13[x＋（200－x）2]2＝100003，当且仅当x＝200－x,即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间(20，200]上取得最大值100003.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．5课时作业(二十二)(第二次作业)1．下列函数中，最小值为4的是()A．f(x)＝x＋4xB．f(x)＝2×x2＋5x2＋4C．f(x)＝3x＋4×3－xD．f(x)＝lgx＋logx10答案C2．在算式“30－△＝4×□”中的△，□分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(□，△)应为()A．(4，14)B．(6，6)C．(3，18)D．(5，10)答案D3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b2答案A解析v＝21a＋1b＝2aba＋b2ab2ab＝ab.因为2aba＋b－a＝2ab－a2－aba＋b＝ab－a2a＋ba2－a2a＋b＝0，所以2aba＋ba，即va.故选A项．64．已知两个正变量x，y，满足x＋y＝4，则使不等式1x＋4y≥m恒成立的实数m的取值范围是________．答案(－∞，94]5．设正数x，y满足x＋y≤a·x＋y恒成立，则a的最小值是________．答案26．设正数x，y满足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是________．答案[6，＋∞)解析原式等价于x＋y＋3＝xy≤(x＋y2)2(当且仅当x＝y时取等号)，所以x＋y＋3≤（x＋y）24，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．所以x＋y的取值范围是[6，＋∞)．7．已知a0，b0，且a2＋b22＝1，则a1＋b2的最大值为________．答案324解析a1＋b2＝2×a1＋b22≤2×12[a2＋(1＋b22)2]＝22(1＋12)＝324，当且仅当a＝32，b＝22时等号成立．∴a1＋b2的最大值为324.8．已知x0，y0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．解析∵x0，y0，且x＋y＝1，∴8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y时等号成立，∴当x＝23时，y＝13时，8x＋2y有最小值18.9．设x，y都是正数且1x＋2y＝3，求2x＋y的最小值；解析2x＋y＝3（2x＋y）3＝13(1x＋2y)(2x＋y)7＝13(yx＋4xy＋4)≥13(24＋4)＝83.当且仅当yx＝4xy时等号成立，即y2＝4x2.∴y＝2x.又∵1x＋2y＝3，得x＝23，y＝43.∴当x＝23，y＝43时，2x＋y取得最小值为83.10．设x－1，求y＝（x＋5）（x＋2）x＋1的最小值．解析∵x－1，∴x＋10.设x＋1＝t0，则x＝t－1.于是有y＝（t＋4）（t＋1）t＝t2＋5t＋4t＝t＋4t＋5≥2t·4t＋5＝9，当且仅当t＝4t，即t＝2时取等号，此时x＝1.∴当x＝1时，函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1取得最小值为9.11．求函数y＝x4＋3x2＋3x2＋1的最小值．解析令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1.∴y＝x4＋3x2＋3x2＋1＝（t－1）2＋3（t－1）＋3t＝t2＋t＋1t＝t＋1t＋1.∵t≥1，∴t＋1t≥2t·1t＝2，当且仅当t＝1t，即t＝1时，等号成立，∴当x＝0时，函数取得最小值3.讲评把已知函数解析式通过通分、拆项等方法，转化成满足基本不等式的条件的形式再求最值，是常用的方法．12．已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.解析b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc＝ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc－3＝(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)－3，∵a，b，c都是正数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2，同理ca＋ac≥2，cb＋bc≥2.∴(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥6.8∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，∴(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)6.∴b＋c－aa＋a＋c－bb＋a＋b－cc3.13.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地的围墙的总费用最少，并求出最少总费用．解析(1)设矩形的另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知ax＝360，得a＝360x.∴y＝225x＋3602x－360(x0)．(2)∵x0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800.∴y＝225x＋3602x－360≥10440，当且仅当225x＝3602x时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．14.如右图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析(1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.方法一由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272.即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．9由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间