2019-2020学年高中数学 课时作业13 余弦定理 北师大版必修5

1课时作业(十三)1．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为()A.3B．23C.3或23D．2答案C解析由b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－33a＋6＝0，求a即可．2．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2答案A解析在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.因为a＝c，所以0＝b2－2bccosA＝b2－2b(6＋2)cos75°.而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22(32－12)＝14(6－2)，所以b2－2b(6＋2)cos75°＝b2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(舍去)．故选A.3．若a，b，c是△ABC的三边，且ca2＋b21，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案D解析∵ca2＋b21，即a2＋b2c2，a2＋b2－c20，于是cosC＝a2＋b2－c22ab0.∴∠C为钝角，即得△ABC为钝角三角形．4．边长5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°答案B2解析设中间大小的角为B，由余弦定理求得cosB＝a2＋c2－b22ac＝52＋82－722×5×8＝12.而0Bπ，∴B＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°5．在△ABC中，已知a∶b∶c＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是()A．30°B．60°C．90°D．120°答案B解析∵a∶b∶c＝3∶5∶7，∴可令a＝3x，b＝5x，c＝7x(x0)，显然c边最大．∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝9x2＋25x2－49x22·3x·5x＝－12.∴C＝120°，∴其外角为60°.6．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析由正弦定理得a2＝b2＋bc＋c2，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12.∴A＝120°.7．在△ABC中，已知acosA＋bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形答案B解析由acosA＋bcosB＝ccosC，得a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＝c·b2＋a2－c22ab.化简得a4＋2a2b2＋b4＝c4，即(a2＋b2)2＝c4.∴a2＋b2＝c2或a2＋b2＝－c2(舍去)．故△ABC是直角三角形．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()3A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因为(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，所以由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得sinB＝32，选D.9．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.32答案D解析∵AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosAB→，AC→，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB→|＝3，|AC→|＝2，cosAB→，AC→＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝14.故AB→·AC→＝3×2×14＝32.10．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于()A.21B.106C.69D.154答案B解析设CM＝MB＝x，则在△ACM中，cosC＝CM2＋CA2－AM22CM·CA＝x2＋62－422×6×x，在△ABC中，cosC＝BC2＋CA2－AB22BC·CA＝（2x）2＋62－722×6×2x，4∴x2＋62－422×6×x＝（2x）2＋62－722×6×2x.解方程得x＝1062.∴BC＝2x＝106.11．设△ABC三边长分别为15，19，23，现将三边长各减去x后，得一钝角三角形，则x的范围为________．答案(3，11)解析由两边之和大于第三边，得15－x＋19－x23－x，∴x11.①又因得到的三角形为钝角三角形，∴(15－x)2＋(19－x)2(23－x)2.即x2－22x＋570，(x－3)(x－19)0，3x19.②由①②可得3x11.12．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝120°，则边c＝________．答案23解析此题意得a＋b＝5，ab＝2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝21.∴c2＝21－2abcosC＝23.13．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为________．答案612解析由余弦定理可得bccosA＋cacosB＋abcosC＝b2＋c2－a22＋c2＋a2－b22＋a2＋b2－c22＝a2＋b2＋c22＝32＋42＋622＝612.14．(2013·北京)在△ABC中，a＝3，b＝26，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值．解析(1)由正弦定理asinA＝bsinB，得3sinA＝26sin2A.∴3sinA＝262sinAcosA，即cosA＝63.5(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以32＝(26)2＋c2－2×26c×63.即c2－8c＋15＝0，解得c＝5或c＝3(舍)．15．(2015·吉林高二检测)在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc.(1)求角A的大小；(2)若sin2A＋sin2B＝sin2C，求角B的大小．解析(1)因为b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由正弦定理及sin2A＋sin2B＝sin2C，得a24R2＋b24R2＝c24R2.即a2＋b2＝c2，故△ABC是C为直角的直角三角形．又因为A＝π3，所以B＝π6.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．解析(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5.又c＝1，所以b＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20.所以a＝25.已知两边及一边的对角解三角形6例1在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.【解析】方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°.∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.方法二：由bc，B＝30°，bcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC＝csinBb＝33×123＝32.∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝b2＋c2＝32＋（33）2＝6.当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.探究可比较两种解法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边和一角，有两种解法．从而摸索出适合自已思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边．