2019-2020学年高中数学 第1章 统计 8 最小二乘估计（第二课时）练习 北师大版必修3

18最小二乘估计(第二课时)课后拔高提能练一、选择题1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－200解析：选A由于x与y负相关，结合实际情况，可知A正确．2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y＝10.5x＋a，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为()A．210B．210.5C．211.5D．212.5解析：选C∵x＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y＝20＋40＋60＋70＋805＝54，又y＝10.5x＋a过(x，y)，∴54＝10.5×5＋a，得a＝1.5.∴回归方程为y＝10.5x＋1.5，∴当x＝20时，y的估计值为211.5.3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D当y与x正相关时，回归方程中x的系数为正数，当y与x负相关时，回归方程中x的系数为负数，故①④不正确，②③有可能正确，故选D.二、填空题4．期中考试后，某班对50名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为y＝6＋0.4x，由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩相差________分．2解析：y1－y2＝0.4(x1－x2)，当x1－x2＝50时，y1－y2＝0.4×50＝20.答案：205．已知某化妆品的广告费用x(万元)与销售额y(百万元)的统计数据如下表所示：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，y与x有较强的线性相关性，且y＝0.95x＋a，若投入广告费用5万元，预计销售额为________百万元．解析：∵x＝0＋1＋3＋44＝2，y＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝92，又回归直线过(x，y)，∴92＝0.95×2＋a，∴a＝2.6.∴回归直线方程为y＝0.95x＋2.6，当x＝5时，y＝0.95×5＋2.6＝7.35.答案：7.356．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析：y＝0.8×15＋0.1＝12.1.答案：12.1三、解答题7．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝110xi＝80，i＝110yi＝20，i＝110xiyi＝184，i＝110x2i＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx－2，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值解：(1)由题意知n＝10，x＝1ni＝1nxi＝8010＝8，y＝1ni＝1nyi＝2010＝2，3又lxx＝i＝1nx2i－nx2＝720－10×82＝80，lxy＝i＝1nxiyi－nxy＝184－10×8×2＝24.由此得b＝lxylxx＝2480＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加，b＝0.3＞0，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．8．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多的年轻人青睐，某家网络店铺商品的成交量x(件)与店铺的浏览量y(次)之间的对应数据如下表所示：x/件24568y/次3040506070(1)画出表中数据的散点图；(2)根据表中的数据，求出y关于x的回归直线方程；(3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少．解：(1)散点图如图所示．(2)根据散点图，变量x与y之间具有线性相关关系．数据列成下表：ixiyix2ixiyi1230460244016160355025250466036360587064560合计2525014513904由上表计算出x＝255＝5，y＝2505＝50，代入公式得b＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1390－5×5×50145－5×52＝7，a＝y－bx＝50－7×5＝15.故所求的线性回归方程是y＝15＋7x.(3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝y－157≥100时，y≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为715次．