2019-2020学年新教材高中数学 课后作业46 正切函数的性质与图象 新人教A版必修第一册

1课后作业(四十六)复习巩固一、选择题1．函数y＝tanπ4－x的定义域为()A.xx≠π4，x∈RB.xx≠－π4，x∈RC.xx≠kπ＋π4，x∈R，k∈ZD.xx≠kπ＋3π4，x∈R，k∈Z[解析]∵y＝tanπ4－x＝－tanx－π4∴x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)即x≠kπ＋3π4，(k∈Z)．[答案]D2．与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交的一条直线是()A．x＝π2B．x＝－π2C．x＝π4D．x＝π8[解析]当x＝π8时，2x＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x＝π8与函数的图象不相交．故选D.[答案]D3．函数y＝tanx1＋cosx()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数2D．既不是奇函数，又不是偶函数[解析]函数的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠π＋2kπ，k∈Z，关于原点对称．设y＝f(x)＝tanx1＋cosx，则f(－x)＝tan－x1＋cos－x＝－tanx1＋cosx＝－f(x)．所以y＝f(x)是奇函数．故选A.[答案]A4．函数f(x)＝tanωx(ω0)的图象的相邻两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是()A．0B．1C．－1D.π4[解析]由题意，T＝πω＝π4，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x,fπ4＝tanπ＝0，故选A.[答案]A5．方程tan2x＋π3＝3在[0,2π)上的解的个数是()A．5B．4C．3D．2[解析]由题意知，2x＋π3＝π3＋kπ，k∈Z，所以x＝kπ2，k∈Z，又x∈[0,2π)．所以x＝0，π2，π，3π2，共4个．故选B.[答案]B二、填空题6．函数y＝tanxπ4≤x≤3π4，且x≠π2的值域是________．[解析]因为y＝tanx在π4，π2，π2，3π4上都是增函数，所以y≥tanπ4＝1或y≤tan3π4＝－1.[答案](－∞，－1]∪[1，＋∞)7．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时单调递增的区间是________．3[解析]由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时单调递增的区间为2kπ－π2，2kπ(k∈Z)，2kπ＋π，2kπ＋3π2(k∈Z)．[答案]2kπ－π2，2kπ(k∈Z)，2kπ＋π，2kπ＋3π2(k∈Z)8．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．[解析]设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.[答案]0三、解答题9．设函数f(x)＝tanx2－π3.(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．[解](1)∵ω＝12，∴周期T＝πω＝π12＝2π.令x2－π3＝kπ2(k∈Z)，则x＝kπ＋2π3(k∈Z)，∴f(x)的对称中心是kπ＋2π3，0(k∈Z)．(2)令x2－π3＝0，则x＝2π3；令x2－π3＝π2，则x＝5π3；令x2－π3＝－π2，则x＝－π3.∴函数y＝tanx2－π3的图象与x轴的一个交点坐标是2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－π3，x＝5π3，从而得到函数y＝f(x)在一个周期－π3，5π3内的简图(如图)．410．已知函数f(x)＝2tankx－π3(k∈N*)的最小正周期T满足1T32，求正整数k的值，并指出f(x)的奇偶性、单调区间．[解]因为1T32，所以1πk32，即2π3kπ.因为k∈N*，所以k＝3，则f(x)＝2tan3x－π3.由3x－π3≠π2＋kπ得，x≠5π18＋kπ3，k∈Z，定义域不关于原点对称，所以f(x)＝2tan3x－π3是非奇非偶函数．由－π2＋kπ3x－π3π2＋kπ得，－π18＋kπ3x5π18＋kπ3，k∈Z.所以f(x)＝2tan3x－π3的单调增区间为－π18＋kπ3，5π18＋kπ3，k∈Z.综合运用11．下列关于函数y＝tanx＋π3的说法正确的是()A．在区间－π6，5π6上单调递增B．最小正周期是2πC．图象关于点π6，0成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称5[解析]令kπ－π2x＋π3kπ＋π2，解得kπ－5π6xkπ＋π6，k∈Z，显然－π6，5π6不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B错误；令x＋π3＝kπ2，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，令k＝1得到x＝π6，∴π6，0是函数的对称中心，故C正确；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tanx＋π3的图象也没有对称轴，故D错误．故选C.[答案]C12．已知函数y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，则()A．0ω≤1B．－1≤ω0C．ω≥1D．ω≤－1[解析]∵y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，∴ω0且T＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω0.[答案]B13．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为π3，0且|φ|π2，则φ＝________.[解析]由题意得π3＋φ＝kπ2(k∈Z)，即φ＝kπ2－π3(k∈Z)，又|φ|π2，所以φ＝π6或φ＝－π3.[答案]π6或－π314．函数f(x)＝lgtanx＋1tanx－1为________函数(填“奇”或“偶”)．[解析]由tanx＋1tanx－10，得tanx1或tanx－1.∴函数定义域为kπ－π2，kπ－π4∪kπ＋π4，kπ＋π2(k∈Z)关于原点对称．6f(－x)＋f(x)＝lgtan－x＋1tan－x－1＋lgtanx＋1tanx－1＝lg－tanx＋1－tanx－1·tanx＋1tanx－1＝lg1＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．[答案]奇15．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数的θ的取值范围．[解](1)当θ＝－π6时，f(x)＝x2－233x－1＝x－332－43.因为x∈[－1，3]，所以当x＝33时，f(x)取得最小值－43，当x＝－1时，f(x)取得最大值233.(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.因为y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，所以－tanθ≤－1或－tanθ≥3，即tanθ≥1或tanθ≤－3.又θ∈－π2，π2，所以θ的取值范围是－π2，－π3∪π4，π2.