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1课时作业(八)1．(2015·西安高一检测)在等比数列{an}中，a2a6＝400，a3＝10，则a5＝()A．40B．－40C．±40D．20答案A2．(2015·济宁高二检测)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a7＝4a42，a2＝2，则a1＝()A．1B.2C．2D.22答案A3．(2015·沈阳高二检测)在等比数列{an}中，有an＋1a2n＝3n，则a1a2…a6＝()A．±(33)11B．(33)13C．±35D．36答案D4．如果数列{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，那么()A．数列{an2}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列答案A5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－10000答案C6．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10＝()A.23B.32C.23或32D．－23或－32答案C解析a4a14＝a7a11＝6，a4＋a14＝5，2所以a4，a14是方程x2－5x＋6＝0的两根．x1＝2，x2＝3∴a4＝2，a14＝3，或a4＝3，a14＝2.∵a20a10＝a14a4，∴a20a10＝23或32.7．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或352B．4或352C．4D.352答案B解析设这4个数为2，a，b，20，则a2＝2b，2b＝a＋20，∴a2－a－20＝0，解得a＝5或－4.当a＝5时，b＝252，∴a＋b＝352；当a＝－4时，b＝8，∴a＋b＝4.8．(2015·德化高二检测)在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0有两根，则a8a10a12等于()A．16B．32C．64D．256答案C9．(2015·长春高二检测)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝()A．11B．12C．14D．16答案C解析正项等比数列{an}中，因为a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，所以a23＝4，a53＝12，a83＝36，a113＝108，a143＝324，因为an－1anan＋1＝an3＝324，所以n＝14.10．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为13的等比数列，则mn的值是()A．4B．2C.12D.14答案D解析由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1，x3，4，x4，公比为2，x3＝2，x4＝8，n＝16，mn＝14；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0的根为x1，x2，则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．11．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则a13＋a14＋a15＝__________．答案243解析a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15成等比数列记为{bn}，则b1＝3，b2＝9.∴q＝3，∴b5＝b1·q4＝3·34＝35＝243，即a13＋a14＋a15＝243.12．正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则a3＋a5a4＋a6＝__________．答案5－12解析∵a3，a5，a6成等差数列，∴2·a3·q2＝a3＋a3·q3.∵a30，∴q3－2q2＋1＝0.∴(q－1)(q2－q－1)＝0.∵q≠1，∴q2－q－1＝0.∴q＝1±52又q0，∴q＝1＋52.∴a3＋a5a4＋a6＝1q＝5－12.13．已知公差不为零的等差数列的第1，4，13项恰好是某等比数列的第1，3，5项，那么该等比数列的公比为____________．答案±3解析设{an}为等差数列，公差为d，则a1·(a1＋12d)＝(a1＋3d)2(d≠0)．4整理得2a1＝3d，a1＝32d，a4＝a1＋3d＝92d.设等比数列公比为q，则q2＝a4a1＝3，∴q＝±3.14．(2015·济宁高二检测)已知等比数列{an}的各项均匀正数，且2a1＋3a2＝1，a32＝9a2a6.求数列{an}的通项公式．解析设数列{an}的公比为q，由a32＝9a2a6，得a32＝9a42，所以q2＝19.由条件可知q0，故q＝13.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝13.故数列{an}的通项公式为an＝13n.15．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求an.解析设数列{an}的首项为a1，公比为q，因为b1＋b2＋b3＝3.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＝3.所以log2(a1a2a3)＝3，所以a1a2a3＝8.所以a2＝2.因为b1b2b3＝－3，所以log2a1·log2a2·log2a3＝－3，所以log2a1·log2a3＝－3.所以log2a2q·log2a2q＝－3.所以(log2a2－log2q)·(log2a2＋log2q)＝－3.所以(1－log2q)·(1＋log2q)＝－3，解得log2q＝±2.当log2q＝2时，q＝4，a1＝a2q＝12，所以an＝12×4n－1＝22n－3.当log2q＝－2时，q＝14，a1＝a2q＝8，所以an＝8×(14)n－1＝25－2n.16．已知(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝0.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差d不为0，求证：x，y，z成等比数列；(2)若正数x，y，z依次成等比数列，公比q不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，d≠0，∴b－c＝a－b＝－d，c－a＝2d，d≠0，代入已知条件得－d(logmx－2logmy＋logmz)＝0.5∵d≠0，∴logmx＋logmz＝2logmy.可知y2＝xz，由于x，y，z均大于0，∴x，y，z成等比数列．(2)∵x，y，z成等比数列，q≠1，且x，y，z均大于0，∴yx＝zy＝q(q≠1)．两边取对数，得logmy－logmx＝logmz－logmy＝logmq≠0，∴logmx＝logmy－logmq，logmz＝logmy＋logmq，代入已知条件中，可得(b－c)(logmy－logmq)＋(c－a)logmy＋(a－b)(logmy＋logmq)＝0.即(a－2b＋c)logmq＝0.∴a＋c＝2b.即a，b，c成等差数列．例1有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这个四个数．【思路分析】本题解法众多，由前三个数成等比数列，可设这三个数为aq，a，aq；由后三个数成等差数列，可设后三个数为a－d，a，a＋d；由第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，可设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b.【解析】方法一：设前三个数分别为aq，a，aq，则第四个数为2aq－a.由题意得aq＋（2aq－a）＝21，a＋aq＝18.解得q＝2，或q＝35.当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；当q＝35时，a＝454，这四个数为754，454，274，94.方法二：设后三个数为a－d，a，a＋d，则第一个数为（a－d）2a.因此，四个数为（a－d）2a，a－d，a，a＋d.由题意得6（a－d）2a＋（a＋d）＝21，（a－d）＋a＝18，解得a＝12，d＝6，或a＝274，d＝－92.∴这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.方法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a.设第二个数为b，则第三个数为18－b，因此，这四个数为a，b，18－b，21－a，由题意得a（18－b）＝b2，b＋（21－a）＝2（18－b），解得a＝3，b＝6，或a＝754，b＝454.∴这四个数为3，6，12，18或754，454，274，94.【讲评】以上三种方法，都仅使用了两个字母表示未知量，这种方法比设这四个数为a，b，c，d简单多了．在这三种方法中，解法三中不出现分式，因此，又比解法一和解法二简单，值得学习．例2在数列{an}中，已知an＝3n－1，把数列{an}按以下方法分组(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，…，其中第n组中有n个数，那么这里第100组中的第一个数是()A．34950B．35000C．35010D．35050【解析】前99组共有1＋2＋3＋…＋99＝99·（1＋99）2＝4950个数，即第99组中最后一个数为a4950＝34949，∴第100组中第1个数为34950.【答案】A