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1第2课时补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}[解析]∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0x1}．故选D.[答案]D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝()A．{3}B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2}D．{1,2,3}[解析]由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．[答案]C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝()A．{1,2,7,8}B．{4,5,6}C．{0,4,5,6}D．{0,3,4,5,6}[解析]∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4,5,6}．[答案]C4．全集U＝{x|0x10}，A＝{x|0x5}，则∁UA＝________.[解析]∁UA＝{x|5≤x10}，如图所示．2[答案]{x|5≤x10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．[解]∵∁UA＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁UA＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁UA无意义，故a＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或AB类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A的a的值组成的集合．[解]由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ0，∴－3(a2－16)0，解得a－4或a4.此时B⊆A.(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．3①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0；当a＝－2时，Δ0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ0，舍去．③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ0，－2与4恰是方程的两根．∴当a＝－2时，B⊆A.综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a－4或a＝－2或a≥4}．[点评]∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A.正因如此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅；如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.【典例2】设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1x2a，a∈R}，N＝{x|－1x3}，若N⊆(∁UM)，求实数a的取值集合．[解]根据题意可知：N≠∅，又∵N⊆(∁UM)．①当M＝∅，即3a－1≥2a时，a≥1.此时∁UM＝R，N⊆(∁UM)显然成立．②当M≠∅，即3a－12a时，a1.由M＝{x|3a－1x2a}，知∁UM＝{x|x≤3a－1或x≥2a}．又∵N⊆(∁UM)，∴结合数轴分析可知a1，3≤3a－1，或a1，2a≤－1，得a≤－12.综上可知，a的取值集合为aa≥1或a≤－12.[点评]集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．