2019-2020学年新教材高中数学 课后作业52 简单的三角恒等变换 新人教A版必修第一册

1课后作业(五十二)复习巩固一、选择题1．设5πθ6π，cosθ2＝a，那么sinθ4等于()A．－1＋a2B．－1－a2C．－1＋a2D．－1－a2[解析]∵5π4θ432π，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a2，故选D.[答案]D2．若α∈7π4，2π，则1＋cos2α2－1－cos2α2等于()A．cosα－sinαB．cosα＋sinαC．－cosα＋sinαD．－cosα－sinα[解析]原式＝1＋2cos2α－12－1－1－2sin2α2＝|cosα|－|sinα|∵α∈7π4，2π，∴cosα0，sinα0，∴原式＝cosα＋sinα.[答案]B3．sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α＝()A．－79B．－13C.13D.79[解析]cos2π3＋2α＝2cos2π3＋α－1.∵π6－α＋π3＋α＝π2，2∴cosπ3＋α＝sinπ6－α＝13.∴cos2π3＋2α＝2×132－1＝－79.故选A.[答案]A4．化简sin4α4sin2π4＋αtanπ4－α＝()A．sin2αB．cos2αC．sinαD．cosα[解析]∵4sin2π4＋αtanπ4－α＝4cos2π4－αtanπ4－α＝4cosπ4－αsinπ4－α＝2sinπ2－2α＝2cos2α，∴原式＝sin4α2cos2α＝2sin2αcos2α2cos2α＝sin2α.[答案]A5．若cosα＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2的值为()A．－12B.12C．2D．－2[解析]由cosα＝－45，α是第三象限角，可得sinα＝－1－cos2α＝－35.所以1＋tanα21－tanα2＝cosα2＋sinα2cosα2－sinα2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12.[答案]A二、填空题36．若tanx＝2，则2cos2x2－sinx－1sinx＋cosx＝________.[解析]原式＝cosx－sinxcosx＋sinx＝1－tanx1＋tanx＝1－21＋2＝1－22－1＝22－3.[答案]22－37.3tan12°－3sin12°4cos212°－2＝__________.[解析]原式＝3sin12°－3cos12°cos12°sin12°·2cos24°＝3sin12°－3cos12°sin24°cos24°＝43sin12°cos60°－cos12°sin60°2sin24°cos24°＝43sin－48°sin48°＝－43.[答案]－438．若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝________.[解析]cosα－3π10sinα－π5＝sinα－3π10＋π2sinα－π5＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5＝sinαcosαcosπ5＋sinπ5sinαcosαcosπ5－sinπ5＝2·sinπ5cosπ5cosπ5＋sinπ52·sinπ5cosπ5cosπ5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3.4[答案]3三、解答题9．求证：2sinxcosxsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.[证明]左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．∴原等式成立．10．已知sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝45，0αβπ，求α－β的值．[解]因为(sinα＋sinβ)2＝352，(cosα＋cosβ)2＝452，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12，又因为0αβπ，－πα－β0，所以α－β＝－2π3.综合运用11．已知sinα＋cosα＝13，则2cos2π4－α－1＝()A.89B.1718C．－89D．－23[解析]sinα＋cosα＝13，两边平方可得1＋sin2α＝19，可得sin2α＝－89，52cos2π4－α－1＝cosπ2－2α＝sin2α＝－89.[答案]C12．若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ等于()A.35B.45C.74D.34[解析]因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π，故cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－1－3782＝－18.又cos2θ＝1－2sin2θ，所以sin2θ＝1－cos2θ2＝1－－182＝916.又θ∈π4，π2，所以sinθ＝34，故选D.[答案]D13．设α为第四象限角，且sin3αsinα＝135，则tan2α＝________.[解析]∵α为第四象限的角，∴sinα0，cosα0∵sin3αsinα＝sin2α＋αsinα＝sin2αcosα＋cos2αsinαsinα＝2cos2α＋cos2α＝4cos2α－1＝135∴cosα＝31010，sinα＝－1010，tanα＝－13，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.[答案]－3414．化简tan70°cos10°(3tan20°－1)＝__________.[解析]原式＝sin70°cos70°cos10°3sin20°cos20°－16＝2sin70°cos70°cos10°32sin20°－12cos20°·1cos20°＝2cos20°sin20°·cos10°sin(20°－30°)·1cos20°＝2cos10°sin20°·sin(－10°)＝－2sin10°cos10°sin20°＝－1[答案]－115．已知cos2θ＝725，π2θπ，(1)求tanθ的值．(2)求2cos2θ2＋sinθ2sinθ＋π4的值．[解](1)∵cos2θ＝725，∴cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝725，∴1－tan2θ1＋tan2θ＝725，解得tanθ＝±34，∵π2θπ，∴tanθ＝－34.(2)2cos2θ2＋sinθ2sinθ＋π4＝1＋cosθ＋sinθcosθ＋sinθ，∴π2θπ，tanθ＝－34，∴sinθ＝35，cosθ＝－45，∴2cos2θ2＋sinθ2sinθ＋π4＝1＋cosθ＋sinθcosθ＋sinθ＝1－45＋35－45＋35＝－4.