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1质量检测(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[解析]本题考查命题的概念．“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.[答案]A2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝()A．{1}B．{4}C．{1,3}D．{1,4}[解析]由题意得，B＝{1,4,7,10}，所以A∩B＝{1,4}．[答案]D3．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．{a|a≤－1}B．{a|a≥1}C．{a|－1≤a≤1}D．{a|a≤－1或a≥1}[解析]由P∪M＝P，可知M⊆P，即a∈P，因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1.[答案]C4．设全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}[解析]因为M∩N＝{2,3}，所以∁U(M∩N)＝{1,4}．[答案]D5．集合A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，则A∩B＝()A．{3,7}B．{(3,7)}C．(3,7)D．{x＝3，y＝7}2[解析]联立A与B中方程得：y＝3x－2，y＝x＋4，消去y得：3x－2＝x＋4，解得：x＝3，把x＝3代入得：y＝9－2＝7，∴方程组的解为x＝3，y＝7，∵A＝{(x，y)|y＝3x－2}，B＝{(x，y)|y＝x＋4}，∴A∩B＝{(3,7)}，故选B.[答案]B6．设x∈R，则“x1”是“x31”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题主要考查充要条件的判断．∵x1，∴x31.又x3－10，即(x－1)(x2＋x＋1)0，解得x1，∴“x1”是“x31”的充要条件，故选C.[答案]C7．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员．正确答案的序号是()A．①②B．①②③C．①③D．②③[答案]A8．下列四个选项中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：ab，q：a2b2B．p：ab，q：a＋3b＋3C．q：A⊆B，p：A＝BD．p：x24，q：x3[解析]A中p是q的既不充分也不必要条件；B中p是q的充要条件；C中p是q的充分不必要条件，故选D.[答案]D9．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}[解析]因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，解得m＝3，则方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．3[答案]C10．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题综合考查函数零点与充分条件、必要条件的判断．当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；若函数y＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.[答案]B11．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是()A．57B．56C．49D．8[解析]集合S满足S⊆A且S∩B≠∅，即集合S是集合A的子集，且至少含有4,5,6中的一个元素，因此集合S的个数为26－23＝64－8＝56.[答案]B12．设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立[解析]本题结合新定义考查充要条件的判断及命题真假性的判断．由题意，d(A，B)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)≥0，对于命题①，A＝B⇔card(A∪B)＝card(A∩B)⇔d(A，B)＝0，∴A≠B⇔d(A，B)0，命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)⇔card(A)＋card(C)－2card(A∩C)≤card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)⇔card(A∩C)≥card(A∩B)＋card(B∩C)－card(B)⇒card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)．因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)≤0，故命题②成立．故选A.[答案]A第Ⅱ卷(非选择题共90分)4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．命题“∃x∈{正实数}，使xx”的否定为________命题．(填“真”或“假”)．[解析]原命题的否定为“∀x∈{正实数}，使x≥x”，是假命题．[答案]假14．若M，N为非空集合，且M≠N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的________________条件．[答案]必要不充分15．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[解析]因为集合A＝{m＋2,2m2＋m}，且3∈A，所以m＋2＝3，2m2＋m≠3，或2m2＋m＝3，m＋2≠3.解得m＝－32.[答案]－3216．设集合M＝{x|－2x5}，N＝{x|2－tx2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为________．[解析]由M∪N＝M得N⊆M，当N＝∅时，2t＋1≤2－t，即t≤13，此时M∪N＝M成立．当N≠∅时，由下图可得2－t2t＋1，2t＋1≤5，2－t≥－2，解得13t≤2.综上可知，实数t的取值范围是{t|t≤2}．[答案]{t|t≤2}三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x＋3≥0}．求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)∁R(A∩B)．[解]由已知得B＝{x|x≥－3}，(1)A∩B＝{x|－3≤x≤－2}．(2)A∪B＝{x|x≥－4}．(3)∁R(A∩B)＝{x|x－3或x－2}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)面积相等的三角形全等．5(2)存在m≤1，使方程x2－2x＋m＝0有实根．(3)垂直于同一条直线的两条直线平行．[解](1)存在面积相等的三角形不全等，为真命题．(2)∀m≤1，方程x2－2x＋m＝0没有实根，为假命题．(3)存在垂直于同一条直线的两条直线不平行，为真命题．19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若A＝{x∈Z|－2≤x≤5}，求A的非空真子集的个数；(2)若A∩B＝B，求实数m的取值范围．[解](1)∵A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A的非空真子集有28－2＝254(个)．(2)∵A∩B＝B，∴B⊆A.当B＝∅时，m＋12m－1，∴m2；当B≠∅时，m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，∴m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.综上可知，实数m的取值范围是{m|m≤3}．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．[解]∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，又“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，∴BA.当B＝∅时，得a＝0；当B≠∅时，由题意得B＝{1}或B＝{2}．则当B＝{1}时，得a＝1；当B＝{2}时，得a＝12.综上所述，实数a组成的集合是0，1，12.21．(本小题满分12分)是否存在实数p，使“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．[解]x2－x－20的解集是{x|x2或x－1}，由4x＋p0得x－p4.要想使x－p4时，x2或x－1成立，必须有－p4≤－1，即p≥4.所以p≥4时，“4x＋p0”是“x2－x－20”的充分条件．622．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．[解]A＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4,0}．∵B⊆A，∴分B＝A，BA两种情况讨论．①当A＝B时，B＝{－4,0}．即－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1.②当BA时，若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)0，解得a－1.若B≠∅，则B＝{－4}或{0}，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件．综上可知，所求实数a的值为a＝1或a≤－1.