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1课后作业(七)复习巩固一、选择题1．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]逆命题“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．[答案]B2．设x∈R，则“x12”是“2x2＋x－10”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]不等式2x2＋x－10，即(x＋1)(2x－1)0，解得x12或x－1，所以由x12可以得到不等式2x2＋x－10成立，但由2x2＋x－10不一定得到x12，所以“x12”是“2x2＋x－10”的充分而不必要条件．[答案]A3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1[解析]函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－m2×1＝1，即m＝－2，故选A.[答案]A4．已知p：x≤－1或x≥3，q：x5，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由{x|x5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．[答案]B5．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的()2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．[答案]B二、填空题6．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)[答案]充要7．如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．[解析]由题意可知：1≤x≤2⇒x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.[答案]28．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①x2且y3是x＋y5的充要条件；②“x1”是“|x|0”的充分不必要条件；③b2－4ac0是ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R的充要条件；④三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．[解析]①因为由x2且y3⇒x＋y5，但由x＋y5不能推出x2且y3，所以x2且y3是x＋y5的充分不必要条件．②因为由x1⇒|x|0，而由|x|0不能推出x1，所以x1是|x|0的充分不必要条件．③因为由b2－4ac0不能推出ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R(a0时解集为∅)，而由ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R⇒b2－4ac0，所以b2－4ac0是ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．[答案]②④三、解答题9．已知p：0m13；q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p是q的什么条件？[解]设x1，x2是方程mx2－2x＋3＝0的两个根，则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于m≠0，Δ＝4－4×3×m0，⇔0m13，x1x2＝3m0，3因此，p是q的充要条件．10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．[解]x2＋kx＋1＝0，x2＋x＋k＝0，⇔x2－x2＋xx＋1＝0，x2＋x＋k＝0，⇔1－x3＝0，x2＋x＋k＝0，⇔x＝1，k＝－2.所以两方程有一公共实根的充要条件为k＝－2.综合运用11．“ab”是“a|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若ab，不如令a＝1，b＝－2，则a|b|不成立，所以充分性不成立，若a|b|，则有ab，所以“ab”是“a|b|”的必要不充分条件．[答案]B12．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件[解析]因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．[答案]A13．“|x－1|2成立”是“x(x－3)0成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．[解析]|x－1|2⇒－1x3，x(x－3)0⇒0x3，{x|0x3}{x|－1x3}，由此可4知“|x－1|2成立”是“x(x－3)0成立”的必要不充分条件．[答案]必要不充分14．设p：12≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．[解析]∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，∴a≤12a＋1≥1，解得0≤a≤12.[答案]a0≤a≤1215．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.[证明]①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，两式相减，可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2，故A＝90°.②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2.将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.