2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课时跟踪检测

12.3.2圆的一般方程课时跟踪检测[A组基础过关]1．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．F＝ED．D＝E＝F解析：由题可知方程表示以－D2，－E2为圆心的圆，且圆心在直线y＝x上，∴－E2＝－D2，即D＝E，故选A．答案：A2．过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为()A．a－3或1a32B．1a32C．a－3D．－3a1或a32解析：圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，∴3－2a0，a32，又过A可作圆的两条切线，∴A在圆外，即a2＋a2－2a2＋a2＋2a－30，即a2＋2a－30，∴a1或a－3，∴a－3或1a32，故选A．答案：A3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝02解析：令a＝0，a＝1，得方程组－x－y＋1＝0，－y＋2＝0.解得x＝－1，y＝2，所以C(－1,2)．则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.答案：C4．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为()A．2x－y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y＋1＝0D．2x＋y－1＝0答案：C5．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝2答案：A6．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点M的轨迹方程是________________．解析：设圆x2＋y2＝4上任意一点为A(x0，y0)，M(x，y)，则x0＋42＝x，y0－22＝y，∴x0＝2x－4，y0＝2y＋2，代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝17．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝04＋0＋2D＋F＝0，，解得D＝－2，E＝0，F＝0，则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝08．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，3半径为2，求圆的一般方程．解：圆心C－D2，－E2，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－D2－E2－1＝0，即D＋E＝－2，①又r＝D2＋E2－122＝2，∴D2＋E2＝20，②由①②可得D＝2，E＝－4或D＝－4，E＝2.又圆心在第二象限，∴－D2＜0即D＞0，∴D＝2，E＝－4，∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.[B组技能提升]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]解析：∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝22，∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，∴圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[2，32]，则S△ABP＝12|AB|d2＝2d2∈[2,6]．故选A．答案：A2．方程x(x2＋y2－4)＝0与x2＋(x2＋y2－4)2＝0表示的曲线是()A．都表示一条直线和一个圆B．都表示两个点C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D．前者是两个点，后者是一条直线和一个圆解析：x(x2＋y2－4)＝0得x＝0或x2＋y2－4＝0，表示一条直线和一个圆，由x2＋(x24＋y2－4)2＝0得，x＝0，x2＋y2－4＝0，∴x＝0，y＝－2或x＝0，y＝2，表示两个点，故选C．答案：C3．圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________.解析：由题意得直线kx－y＋4＝0经过圆心C，又C－12，3，所以－k2－3＋4＝0，解得k＝2.答案：24．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0上，则(x－5)2＋(y＋5)2的最大值为________．解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，∴圆心为(2，－1)，半径为3.(x－5)2＋(y＋5)2表示P(x，y)到点M(5，－5)的距离的平方，又|MC|＝2－52＋－1＋52＝53，∴|PM|max＝5＋3＝8，∴(x－5)2＋(y＋5)2的最大值为64.答案：645．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.(1)t为何值时，方程所表示的曲线为圆？(2)是否存在t使得上述方程所表示的圆的面积最大，若存在求此最大圆．解：(1)D2＋E2－4F＝－4(7t2－6t－1)0，∴－17t1.∴当－17t1时方程表示圆．(2)r＝12D2＋E2－4F＝－7t2＋6t＋1＝－7t－372＋167，又∵－17t1，∴当t＝37时，rmax＝477.∴此时圆的方程为x－2472＋y＋13492＝167.6．已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．解：设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)，圆心为O，则在△ABP中，|AR|＝|PR|.又因为R是弦AB的中点，故|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)，又|AR|＝|PR|＝x1－42＋y21，5所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)，即x21＋y21－4x1－10＝0.因此点R在一个圆上．而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．设Q(x，y)，因为R是PQ的中点，所以x1＝x＋42，y1＝y＋02.代入方程x21＋y21－4x1－10＝0，得x＋422＋y22－4·x＋42－10＝0，整理得x2＋y2＝56.即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.