2019-2020学年新教材高中数学 课后作业40 同角三角函数的基本关系 新人教A版必修第一册

1课后作业(四十)复习巩固一、选择题1．若α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A.15B．－15C.513D．－513[解析]因为α是第四象限角，tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512.又sin2α＋cos2α＝1.所以sinα＝－513.故选D.[答案]D2．若cosα＝23，则tanαsinα＝()A.56B.23C.45D.34[解析]由cosα＝23得|sinα|＝53，所以tanαsinα＝sin2αcosα＝59×32＝56.[答案]A3．若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于()A．0B．1C．2D．3[解析]∵cos2α＋cos4α＝cos2α(1＋cos2α)＝(1－sin2α)(1－sin2α＋1)∵sinα＋sin2α＝1，∴1－sin2α＝sinα∴原式＝sinα·(sinα＋1)＝sin2α＋sinα＝1.[答案]B4．化简1－2sin1cos1的结果为()A．sin1－cos1B．cos1－sin1C．sin1＋cos1D．－sin1－cos12[解析]易知sin1cos1，所以1－2sin1cos1＝sin1－cos12＝sin1－cos1.故选A.[答案]A5．已知sinα·cosα＝18，且π4απ2，则cosα－sinα的值为()A.32B.34C．－32D．±32[解析](cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝34，因为π4απ2，所以sinαcosα，所以cosα－sinα＝－32.故选C.[答案]C二、填空题6．若2sinα＋cosα3sinα－2cosα＝1，则tanα的值为________．[解析]2sinα＋cosα3sinα－2cosα＝1化为2tanα＋13tanα－2＝1，所以2tanα＋1＝3tanα－2，所以tanα＝3.[答案]37．已知sinθ＝1213，且sinθ－cosθ1，则tanθ等于________．[解析]因为sinθ－cosθ1，所以cosθ0，所以cosθ＝－1－sin2θ＝－513，所以tanθ＝sinθcosθ＝－125.[答案]－125三、解答题8．化简：1cos2α1＋tan2α－1＋sinα1－sinα(α为第二象限角)．[解]∵α是第二象限角，∴cosα0.则原式＝1cos2α·1＋sin2αcos2α－1＋sinα21－sin2α＝1cos2α·cos2αcos2α＋sin2α－1＋sinα|cosα|3＝－cosαcos2α＋1＋sinαcosα＝－1＋1＋sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.9．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值：(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.[解]因为tanαtanα－1＝－1，所以tanα＝12.(1)原式＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)原式＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝14＋1214＋1＋2＝135.10．求证：2sinxcosx－1cos2x－sin2x＝tanx－1tanx＋1.[证明]证法一：∵左边＝2sinxcosx－sin2x＋cos2xcos2x－sin2x＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2xcos2x－sin2x＝sinx－cosx2sin2x－cos2x＝sinx－cosx2sinx－cosxsinx＋cosx＝sinx－cosxsinx＋cosx＝tanx－1tanx＋1＝右边．∴原式成立．证法二：∵右边＝sinxcosx－1sinxcosx＋1＝sinx－cosxsinx＋cosx；左边＝1－2sinxcosxsin2x－cos2x＝sinx－cosx2sin2x－cos2x＝sinx－cosx2sinx－cosx·sinx＋cosx＝sinx－cosxsinx＋cosx.∴左边＝右边，原式成立．综合运用411．若1＋sinθ·sin2θ＋cosθ·cos2θ＝0成立，则角θ不可能是()A．第二、三、四象限角B．第一、二、三象限角C．第一、二、四象限角D．第一、三、四象限角[解析]由于1＋sinθ·sin2θ＋cosθcos2θ＝0，且1－sin2θ－cos2θ＝0，所以sinθ≤0，cosθ≤0，故选C.[答案]C12．若1＋cosαsinα＝3，则cosα－2sinα等于()A．－1B．1C．－25D．－1或－25[解析]若1＋cosαsinα＝3，则1＋cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝35，cosα＝3sinα－1＝45，所以cosα－2sinα＝－25.故选C.[答案]C13．已知cosα＋π4＝13，0απ2，则sinα＋π4＝________.[解析]∵0απ2，∴π4α＋π43π4，∴sinα＋π40，∴sinα＋π4＝1－132＝223.[答案]22314．已知f(tanx)＝1cos2x，则f(－3)＝________.[解析]因为f(tanx)＝1cos2x＝sin2x＋cos2xcos2x＝tan2x＋1，所以f(x)＝x2＋1，所以f(－3)＝4.[答案]415．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；5(2)求tanA的值．[解](1)由sinA＋cosA＝15两边平方，得1＋2sinA·cosA＝125，所以sinA·cosA＝－12250.因为0Aπ，sinA0cosA0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(2)因为sinA·cosA＝－1225，所以(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝1＋2425＝4925.又因为sinA0，cosA0，所以sinA－cosA0，所以sinA－cosA＝75.又因为sinA＋cosA＝15，所以sinA＝45，cosA＝－35，所以tanA＝－43.