2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.2 指数幂及其运算学案 新

1第2课时指数幂及其运算1．学会根式与分数指数幂之间的相互转化．2．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值．3．了解无理数指数幂的意义．1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a－b＝1ab(a0，b是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．2[答案]成立2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘．()(3)0的任何指数幂都等于0.()(4)[(a－b)2]12＝a－b.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×题型一根式与分数指数幂的互化【典例1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)13a2；(2)a3·3a2；(3)3b－a2.根式与分数指数幂互化的规律3(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[针对训练]1．用分数指数幂表示下列各式：题型二指数幂的运算【典例2】计算：4[思路导引]利用指数幂的运算性质化简求值．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．[针对训练]2．计算：5题型三条件求值问题[变式](1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.6[答案](1)±35(2)－33解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a0，b0)：7课堂归纳小结1．指数幂的一般运算步骤一定要遵循去括号，负数指数幂化为正数指数幂，及底数是负数、小数、带分数的转化方法．2．根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．3．对于含有字母的化简求值，结果一般用分数指数幂的形式表示.81.3a·6－a等于()A．－－aB．－aC.－aD.a[答案]A2.1681－14的值是()A.23B.32C.481D．－814[解析]1681－14＝234－14＝23－1＝32.[答案]B[答案]A4．化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.[解析](3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－2.[答案]3－25．计算或化简下列各式：(1)(a＋1)2(a－1)2(a－1)－2；9课后作业(二十六)复习巩固[答案]B2．下列各式成立的是()[解析]被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；ba2＝b2a2，B选项错；6－320，(－3)130，C选项错，故选D.[答案]D103．若a12，则化简42a－12的结果是()A.2a－1B．－2a－1C.1－2aD．－1－2a[解析]∵a12，∴2a－10，∴2a－12＝1－2a，∴42a－12＝1－2a.[答案]C[答案]C5．若(1－2x)－34有意义，则x的取值范围是()A．x∈RB．x∈R且x≠12C．x12D．x12[解析]∵(1－2x)－34＝141－2x3，∴1－2x0，得x12.[答案]D11[答案]5[答案]－23[答案]229三、解答题9．计算下列各式的值：1210．(1)已知x＝12，y＝23，求x＋yx－y－x－yx＋y的值；(2)已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．[解](1)x＋yx－y－x－yx＋y＝x＋y2x－y－x－y2x－y＝4xyx－y.将x＝12，y＝23代入上式得原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－83.(2)∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1.又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝(a－1)2.∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.综合运用11．设a0，将a2a·3a2表示成分数指数幂，其结果是()13[答案]C12．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B．10C．20D．100[答案]A13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.[解析]利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.[答案]1421514．化简10－43＋22的值为________．[解析]原式＝10－42＋1＝22－42＋22＝2－2[答案]2－214(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，∴a＋b＝6，ab＝4.∵ab0，∴ab，∴a－ba＋b0.∵a－ba＋b2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝210＝15，∴a－ba＋b＝15＝55.15