（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题四 统计与概率 第2讲 概率讲义

1第2讲概率[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019用频率估计概率·T17古典概型·T4古典概型·T32018频率分布表、频率分布直方图及用频率估计概率、平均数的计算·T19古典概型·T5互斥事件的概率·T52017数学文化、有关面积的几何概型·T4古典概型·T11频数分布表、用频率估计概率·T18相关系数的计算、均值及标准差公式的应用·T19频率分布直方图、频率估计概率、独立性检验·T19(1)对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题.(2)选择题或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般.(3)概率、统计的解答题多在第17、18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.考点一古典概型[例1](1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15(2)某教师让学生从3.1415926的小数点之后的七个数字1，4，1，5，9，2，6中随机选取两个数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为()A.2831B.19212C.2231D.1721[解析](1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.(2)从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种，故所得到的数字大于3.14的概率P＝1－331＝2831.[答案](1)B(2)A[解题方略]1.求古典概型概率的两个关键点(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；(2)会运用古典概型的概率计算公式P(A)＝mn求事件A发生的概率.2.互斥事件、对立事件概率的求法解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.其方法有直接法和间接法.[跟踪训练]1.已知a∈{－2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是()A.310B.35C.25D.15解析：选C函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－20，－2＜a＜2，且与b无关.又a∈{－2，0，1，2，3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，所以函数f(x)＝(a2－2)ex3＋b为减函数的概率是25.故选C.2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________.解析：设事件M为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件M为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有2×2×2＝8种情况.其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P(M)＝28＝14，所以P(M)＝1－P(M)＝1－14＝34.答案：343.某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等.(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；(2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.解：将2名文科生和4名理科生依次编号为1，2，3，4，5，6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15种.(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6种.记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，则P(A)＝615＝25.(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况.其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3，4，5，6).所以P(B)＝115，所以P(B)＝1－P(B)＝1－115＝1415.4考点二几何概型[例2](1)设集合A＝x14＜2x＜16，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是________.(2)(2019·江淮十校联考)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的大正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.[解析](1)因为集合A＝x14＜2x＜16＝(－2，4)，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，所以A∩B＝{x|3＜x＜4或－2＜x＜0}，所以所求事件的概率是4－3＋0＋24＋2＝12.(2)设大正方形的边长为2，则该正方形的面积为4，阴影部分的面积为12×1×2＋1×12＝32，所以在大正方形中任取一点，此点取自阴影部分的概率为324＝38.[答案](1)12(2)38[解题方略]公式法求解几何概型的关键(1)定型，即判断事件的属性——等可能性与无限性，确定所求概率模型为几何概型.(2)定类，即确定所求事件的几何属性及其度量方式，确定其度量的类别——长度、角度、面积或体积等.(3)求量，根据平面几何、立体几何的相关知识求出基本事件空间Ω度量及事件A的几何度量.(4)求值，把所求的两个几何度量值代入几何概型的计算公式求值.[跟踪训练]1.(2019·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x，使sinπ2x≥32的概率为()A.13B.125C.23D.34解析：选A当x∈[0，2]时，0≤π2x≤π，所以sinπ2x≥32⇔π3≤π2x≤2π3⇔23≤x≤43.故由几何概型的知识可知所求概率P＝43－232＝13.故选A.2.(2019·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为()A.π24B.π48C.112D.18解析：选B由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为12×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S＝12π×12＝π2，所以所求概率P＝π224＝π48，故选B.3.已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于23的概率为________.解析：当四棱锥O­ABCD的体积为23时，设O到平面ABCD的距离为h，则有13×22×h＝23，解得h＝12.如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为12.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以PHPA＝34，又四棱锥P­ABCD与四棱锥P­EFGH相似，所以四棱锥O­ABCD的体积不小于23的概率为P＝V四棱锥P­EFGHV四棱锥P­ABCD＝PHPA3＝343＝2764.答案：2764考点三概率与统计的综合问题6题型一概率与频率分布直方图的综合应用[例3](2019·东北四市联合体模拟(一))某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人.为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]进行分组，得到下列统计图.(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数.(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65min的概率.[解](1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为6×10＝60.第二组工人40人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78(min)，第二组工人生产一件产品的平均时间为x乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴x甲＞x乙，∴乙车间工人的生产效率更高.(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表.7抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65min”，则事件A＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共6个，∴P(A)＝1－P(A)＝1－615＝35.[解题方略]破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤题型二概率与茎叶图的综合应用[例4]某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示.(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率.[解](1)甲在比赛中得分的均值x＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)甲比赛得分在20分以下的分数为：7，8，10，15，17，19.从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(