（新高考）2020版高考数学二轮复习 第二部分 讲重点 选填题专练 第9讲 解析几何教学案 理

1第9讲解析几何调研一直线与圆■备考工具——————————————一、直线方程的相关概念1．表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．②范围：0°≤α180°.(2)直线的斜率：①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的形式(1)点斜式：y－y0＝k·(x－x0)(2)斜截式：y＝kx＋b(3)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(4)截距式：xa＋yb＝1(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)(6)参数式：x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)3．两条直线的位置关系斜截式一般式方程y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，B1C2－B2C1≠0或2A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝04．距离距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2二、圆的方程及相关概念1．圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程：名称圆的标准方程圆的一般方程方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心(a，b)－D2，－E2半径r12D2＋E2－4F(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(3)参数方程：x＝a＋rcosθy＝b＋rsinθ(θ为参数)圆心(a，b)，半径为r.2．直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由x－a2＋y－b2＝r2，Ax＋By＋C＝0，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝03相离drΔ03.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含同心圆几何特征dR＋rd＝R＋rR－rdR＋rd＝R－r0dR－rd＝0代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解无实数解公切线条数432100三、重要公式1．中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点M(x，y)的坐标满足x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.若线段的中点为M(x0，y0)，一个端点坐标为(a，b)，则另一个端点坐标为(2x0－a,2y0－b)．2．弦心距公式和弦长公式(1)弦心距公式：直线截圆所得的弦长为2a，圆的半径为r，弦心距为d，则弦心距公式为d＝r2－a2.(2)弦长公式：l＝2a＝2r2－d2.3．切线长公式圆的方程为f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0，圆外有一点P(x0，y0)，由点P向圆引的切线的长为l＝fx0，y0.■自测自评——————————————1．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－sinAa，bx－sinB·y＋sinC＝04的斜率k2＝bsinB，故k1k2＝－sinAa·bsinB＝－1，所以直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C.答案：C2．若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为()A．1B．－3C．0或－12D．1或－3解析：由题设可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.当a＝－3时两直线重合，应舍去，故选A.答案：A3．[2019·合肥调研]已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r0)相交所得的弦长为22，则圆C的半径r＝()A.2B．2C．22D．4解析：解法一：依题意，圆C的圆心为(2,1)，圆心到直线的距离d＝|2＋1－5|1＋1＝2，又弦长为22，所以2r2－d2＝22，所以r＝2，故选B.解法二：联立得x＋y－5＝0x－22＋y－12＝r2，整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝20－r22，所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝2x1＋x22－4x1x2＝22，解得r＝2.答案：B4．[2019·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m0)，则|3m＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.答案：C55．[2019·广州调研]若点P(1,1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝0－13－1＝－12.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选D.答案：D6．[2019·湖北重点中学]已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a0)，若圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为()A．(0,3]B．[1,3]C．[2,3]D．[1,2]解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，则由题意知圆(x－3)2＋(y－1)2＝1与圆x2＋y2＝a2有公共点，则|a－1|≤32＋12≤a＋1，解得1≤a≤3，故选B.答案：B7．[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋4x(x0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．解析：通解：设Px，x＋4x，x0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝|x＋x＋4x2＝2x＋4x2≥22x·4x2＝4，当且仅当2x＝4x，即x＝2时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.优解：由y＝x＋4x(x0)得y′＝1－4x2，令1－4x2＝－1，得x＝2，则当点P的坐标为(2，32)时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4.答案：48．[2019·唐山摸底]已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．6解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1,2)，由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0,1)，半径r＝22，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝1－02＋2－12＝2，故|AB|min＝2222－22＝26.答案：269．[2019·广东六校联考]已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________．解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，如图，连接PP′，P′Q，由对称性可知，P′Q与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为A(3,4)，半径r＝2，连接AP′，AT，则|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝|AP′|2－|AT|2＝43.答案：4310．[2019·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.解析：解法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝－2－02＋－1＋22＝5.解法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以m＋10－－2×2＝－1，所以m＝－2，r＝－2－02＋－1＋22＝5.答案：－25调研二椭圆、双曲线■备考工具——————————————一、定义1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中ac0，且a，c为常数．7(3)当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在．2．双曲线的定义及理解(1)定义：平面上到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)．(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在．二、方程和性质1．椭圆的方程与性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c22.双曲线的方程与性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形8性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2渐近线y＝±baxy＝±abx三、离心率e的作用(1)椭圆：e越大，图形越扁．(2)双曲线：e越大，开口越小．四、常见结论1．椭