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14．3.1对数的概念1．了解对数的概念．2．会进行对数式与指数式的互化．3．会求简单的对数值．1．对数的定义一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数与自然对数通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.3．指数与对数的互化当a0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.4．对数的性质(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)零和负数没有对数．1．指数方程3x＝3如何求解？[答案]化为3x＝312，求得x＝122．如何求解3x＝2?[答案]x＝log323．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logaN是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)等式loga1＝0对a∈R均成立．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2题型一指数式与对数式的互化【典例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19；(2)14－2＝16；(3)log1327＝－3；(4)logx64＝－6.[思路导引]借助ab＝N⇔b＝logaN(a0，且a≠1)转化．[解](1)∵3－2＝19，∴log319＝－2.(2)∵14－2＝16，∴log1416＝－2.(3)∵log1327＝－3，∴13－3＝27.(4)∵logx64＝－6，∴(x)－6＝64.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．[针对训练]1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝1128；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log1232＝－5；(5)lg0.001＝－3.[解](1)log21128＝－7.(2)log327＝a.(3)lg0.1＝－1.(4)12－5＝32.(5)10－3＝0.001.题型二对数的计算3【典例2】求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.[思路导引]把对数式化为指数式求解．求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值．(2)把对数式转化为指数式．(3)解有关方程，求得结果．[针对训练]2．求下列各式中的x值：(1)logx27＝32；(2)log2x＝－23；(3)x＝log2719；(4)x＝log1216.4(3)由x＝log2719，可得27x＝19，∴33x＝3－2，∴x＝－23.(4)由x＝log1216，可得12x＝16.∴2－x＝24，∴x＝－4.题型三对数的性质[思路导引]首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值．[解](1)由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1得3x2＋2x－1＝2x2－1，3x2＋2x－10，2x2－10且2x2－1≠1，解得x＝－2.(2)由log2[log3(log4x)]＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.5对数性质的应用要点(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式alogaN＝N及其格式．[针对训练]3．求下列各式中x的值：(1)log2(log4x)＝0；(2)log3(lgx)＝1.[解](1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，∴x＝41＝4.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.课堂归纳小结1．对数概念的理解(1)规定a0且a≠1.6(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a0且a≠1，N0)，据此可得两个常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．e0＝1与ln1＝0B．8－13＝12与log812＝－13C．log39＝2与912＝3D．log77＝1与71＝7[解析]由log39＝2，得32＝9，故选C.[答案]C2．已知logx16＝2，则x等于()A．4B．±4C．256D．2[解析]∵logx16＝2，∴x2＝16，又x0，∴x＝4.[答案]A3．设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13C．100D．±100[解析]由5log5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.[答案]B4．式子2log25＋log321的值为________．[解析]原式＝5＋0＝5.[答案]57课后作业(二十九)复习巩固一、选择题1．使对数loga(5－a)有意义的a的取值范围为()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)[解析]由对数的概念可知a需满足a0且a≠1且5－a0，解得0a5且a≠1.[答案]C[解析]根据对数的定义可知，－3＝log3127.[答案]C3．已知lnx＝2，则x等于()A．±2B．e2C．2eD．2e[解析]由lnx＝2得，e2＝x，所以x＝e2.[答案]B4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于()A．9B．88C．7D．6[解析]由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8.[答案]B[解析]由原方程得＝31，所以logx24＝1，即x2＝4，即x＝±2，经检验知x＝±2都是方程的解．[答案]D二、填空题[答案]2[解析]原式＝2log23＋0－102·10lg2＝3－200＝－197.[答案]－197[答案]43三、解答题9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125；(2)4－2＝116；9(3)log128＝－3；(4)log3127＝－3.[解](1)∵53＝125，∴log5125＝3.(2)∵4－2＝116，∴log4116＝－2.(3)∵log128＝－3，∴12－3＝8.(4)∵log3127＝－3，∴3－3＝127.10．若log12x＝m，log14y＝m＋2，求x2y的值．[解]∵log12x＝m，∴12m＝x，x2＝122m.∵log14y＝m＋2，∴14m＋2＝y，y＝122m＋4.∴x2y＝122m122m＋4＝122m－(2m＋4)＝12－4＝16.综合运用11．若loga5b＝c，则下列关系式中正确的是()A．b＝a5cB．b5＝acC．b＝5acD．b＝c5a[解析]由loga5b＝c，得ac＝5b，∴b＝(ac)5＝a5c.[答案]A12．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x0且x≠1)，则logx(abc)＝()A.47B.27C.72D.7410[答案]D13．方程log3(2x2－1)＝1的解为x＝________.[解析]由log3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，∴2x2＝4，x＝±2.[答案]±214.12－1＋log0.54的值为________．[解析]12－1＋log0.54＝12－1·＝2×4＝8.[答案]8[解](1)∵log2[log3(log4x)]＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.11