2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.6.2 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图

1第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)1．能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．2．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．3．会根据三角函数的图象与性质讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质．1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A0，ω0中参数的物理意义2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的有关性质21．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的对称中心、对称轴各有什么特点？[答案]对称中心为图象与x轴的交点；对称轴为经过图象最高点或最低点与x轴垂直的直线2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝－2sin(3x＋2)的振幅为－2.()(2)函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－2，2]．()(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.()(4)函数y＝3sin(2x－5)的初相为5.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义【典例1】指出下列函数的振幅A、周期T、初相φ.(1)y＝2sinx2＋π6，x∈R；(2)y＝－6sin2x－π3，x∈R.[思路导引]函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0)中振幅为A，周期T＝2πω，初相3为φ.[解](1)A＝2，T＝2π12＝4π，φ＝π6.(2)将原解析式变形，得y＝－6sin2x－π3＝6sin2x＋23π，则有A＝6，T＝2π2＝π，φ＝23π.首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0)的形式，再求振幅、周期、初相．应注意A0，φ0.[针对训练]1．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3[解析]由题意得1＝2sinφ，∴sinφ＝12，又∵|φ|π2，∴φ＝π6，∴T＝2ππ3＝6.[答案]A题型二由图象确定函数解析式【典例2】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象的一部分，求此函数的解析式．4[思路导引]由图象可知振幅为3，要确定ω，先求周期T，求φ时可代入图象中一点求解．[解]解法一：逐一定参法由图象知A＝3，T＝5π6－－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点－π6，0在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－π6×2＋φ＝2kπ，得φ＝π3＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|π2，∴φ＝π3，∴y＝3sin2x＋π3.解法二：待定系数法由图象知A＝3.∵图象过点π3，0和5π6，0，且由图象的上升及下降趋势，可得πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3.∴y＝3sin2x＋π3.解法三：图象变换法由A＝3，T＝π，点－π6，0在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移π6个单位长度而得，5所以y＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，求φ.(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．[针对训练]2．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是()A．y＝sin－56x＋3π5B．y＝sin65x－2π5C．y＝sin65x＋3π5D．y＝－cos56x＋3π56[解析]T4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，排除A、D.不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，于是65·π3＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋3π5(k∈Z)，所以φ可以是3π5，故选C.[答案]C题型三三角函数图象的对称性【典例3】函数y＝sin12x＋π6的对称中心是___________，对称轴方程是__________________．[思路导引]将12x＋π6看成一个整体求解．[解析]函数的对称中心：12x＋π6＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－π3，k∈Z，即2kπ－π3，0(k∈Z)，对称轴方程：12x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝2kπ＋2π3，k∈Z.[答案]2kπ－π3，0k∈Zx＝2kπ＋2π3，(k∈Z)[变式]若本例条件变为“函数y＝12sin2x－π6”，则与y轴最近的对称轴方程是_____________________________．[解析]令2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，∴x＝kπ2＋π3(k∈Z)．由k＝0，得x＝π3；由k＝－1，得x＝－π6.[答案]x＝－π67三角函数对称轴、对称中心的求法[针对训练]3．函数y＝12sinx－π3的图象的一条对称轴是()A．x＝－π2B．x＝π2C．x＝－π6D．x＝π6[解析]∵x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋5π6，k∈Z，令k＝－1，得x＝－π6.[答案]C4．在函数y＝2sin4x＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析]设4x＋2π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ4－π6(k∈Z)，∴函数y＝2sin4x＋2π3图象的对称中心坐标为kπ4－π6，0(k∈Z)．取k＝1得π12，0满足条件．[答案]π12，08课堂归纳小结1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值；在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.1．函数y＝13sin13x＋π6的周期、振幅、初相分别是()A．3π，13，π6B．6π，13，π6C．3π，3，－π6D．6π，3，π69[解析]周期T＝2π13＝6π，振幅为13，初相为π6.[答案]B2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A0，ω0)的最大值为5，则A＝()A．5B．－5C．4D．－4[解析]∵A0，∴函数最大值A＋1＝5，∴A＝4.[答案]C3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则φ的值为()A．－π3B.π3C．－π6D.π6[解析]由图象知T＝2πω＝2π6＋π3＝π，所以ω＝2，2×π6＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－π2φπ2，所以φ＝－π3.故选A.[答案]A4．如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，0|φ|π2的图象的一部分，则函数的一个解析式为()10A．y＝2sin1011x＋π6B．y＝2sin1011x－π6C．y＝2sin2x＋π6D．y＝2sin2x－π6[解析]由图象知A＝2，T2＝2π3－π6＝π2，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2，∵图象过π6，2，∴2＝2sin2×π6＋φ，∴sinπ3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又∵0|φ|π2，∴φ＝π6.∴函数解析式y＝2sin2x＋π6.[答案]C5．函数f(x)＝sinx－π4的图象的对称轴方程是_______________．[解析]∵x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，∴x＝3π4＋kπ，k∈Z.[答案]x＝kπ＋3π4，k∈Z11课后作业(五十五)复习巩固一、选择题1．最大值为12，周期为π3，初相为π4的函数表达式可表示为()A．y＝12sinπ3x＋π4B．y＝12sinπ3x－π4C．y＝12sin6x＋π4D．y＝12sin6x－π4[解析]A＝12，2πω＝π3⇒ω＝6，φ＝π4，C项正确．[答案]C2．将函数f(x)＝sin2x－π3的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴方程可以为()A．x＝3π4B．x＝7π6C．x＝7π12D．x＝π12[解析]f(x)＝sin2x－π3的图象向右平移π3个单位得g(x)＝sin2x－π3－π3＝sin(2x－π)＝－sin2x.由2x＝kπ＋π2得g(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π4(k∈Z)取k＝1，得x＝3π4，故选A.[答案]A3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是()12A．y＝sinx＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝cos4x－π3D．y＝cos2x－π6[解析]由图知T＝4×π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2.又x＝π12时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．[答案]D4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f7π12等于()A.12B．0C．2D．－2[解析]解法一：由图可知，32T＝5π4－π4＝π，即T＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，将π4，0代入上式得，sin3π4＋φ＝0，又34π，0是图象上升的趋势的点，∴3π4＋φ＝2kπ，k∈Z，则φ＝2kπ－3π4.∴f7π12＝2sin7π4＋2kπ－3π4＝0.解法二：由图可知，32T＝5π4－π4＝π，即T＝2π3.13又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则fx0＋T2＝0.∴f7π12＝fπ4＋π3＝0.[答案]B5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝π3对称；③在－π6，π3上单调递增”的一个函数是()A．y＝sinx2＋π6B．y＝cos2x＋π3C．y＝sin2x－π6D．y＝cos2x－π6[解析]由①知T＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由②③知x＝π3时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．[答案]C二、填空题6．函数y＝sin2x－π6的图象在(－π，π)上有________条对称轴．[解析]∵2x－π6＝π2＋kπ，k∈Z，∴x＝kπ2＋π3，k∈Z，k＝－2时，x＝－2π3；k＝－1时，x＝－π6；k＝0时，x＝π3；k＝1时，x＝5π6.∴在(－π，π)上有4条对称轴．[答案]47．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)的一