2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学案 新

15．4.1正弦函数、余弦函数的图象1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法①利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．(2)五点法①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．3．余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．24．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cosx＝sinx＋π2.(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝cosx的图象与y轴只有一个交点．()(2)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．()(3)函数y＝sinx，x∈π2，5π2的图象与函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象的形状完全一致．()(4)函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]k∈Z，且k≠0的图象与y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√题型一用“五点法”作简图【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．[思路导引]利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线．[解](1)列表：3x0π2π3π22πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图所示．(2)列表：x0π2π3π22πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图所示．用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤(1)列表x0π2π3π22πsinx010－10yy1y2y3y4y54(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，π2，y2，(π，y3)，3π2，y4，(2π，y5)．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．[针对训练]1．利用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝1－cosx，x∈[0,2π]．[解](1)列表：x0π2π3π22πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，π2，3，(π，1)，3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：x0π2π3π22πcosx10－1011－cosx01210在直角坐标系中，描出五点(0,0)，π2，1，(π，2)，3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y＝1－cosx，x∈[0,2π]的图象．如图．5题型二正、余弦函数图象的简单应用【典例2】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．(1)sinx≥12；(2)cosx≤12.[思路导引]先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．[解](1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π3＋2kπ，5π3＋2kπ，k∈Z.6用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；(2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集．[针对训练]2．求下列函数的定义域．(1)y＝lg(－cosx)；(2)y＝2sinx－2.[解](1)为使函数有意义，则需要满足－cosx0，即cosx0.由余弦函数图象可知满足条件的x为π2＋2kπx3π2＋2kπ，k∈Z.所以原函数定义域为xπ2＋2kπx3π2＋2kπ，k∈Z.(2)为使函数有意义，则需要满足2sinx－2≥0，即sinx≥22.由正弦函数图象可知满足条件的x为π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z.所以原函数定义域为xπ4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ，k∈Z.课堂归纳小结1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.1．用“五点法”画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点()A.π6，12B.π2，1C．(π，0)D．(2π，0)[解析]五个关键点为(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)，故选A.[答案]A72．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]如图所示为y＝cosx的图象．可知三项描述均正确．[答案]D3．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是()[解析]列表x0π2π3π22πsinx010－101－sinx101218描点与选项比较，可知选B.[答案]B4．在[0,2π]内，不等式sinx－32的解集是()A．(0，π)B.π3，4π3C.4π3，5π3D.5π3，2π[解析]画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象如下：因为sinπ3＝32，所以sinπ＋π3＝－32，sin2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sinx＝－32的是x＝4π3或x＝5π3.由图可知不等式sinx－32的解集是4π3，5π3.[答案]C5．画出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y＝32的交点个数．[解]在同一坐标系内画出y＝1＋sinx和y＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.9课后作业(四十三)复习巩固一、选择题1．用“五点法”作y＝2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，32π，2πB．0，π4，π2，34π，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3[解析]由五点作图法，令2x＝0，π2，π，32π，2π，解得x＝0，π4，π2，34π，π.[答案]B2．函数y＝－cosx(x0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A.π2，1B．(π，1)C．(0,1)D．(2π，1)[解析]用五点作图法作出函数y＝－cosx(x0)的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π，1)．[答案]B3．函数y＝－sinx，x∈－π2，3π2的简图是()10[解析]将x＝－π2代入y＝－sinx中，得y＝－sin－π2＝sinπ2＝1.故排除A、B、C，故选D.[答案]D4．使不等式2－2sinx≥0成立的x的取值集合是()A.x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋3π4，k∈ZB.x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈ZC.x2kπ－5π4≤x≤2kπ＋π4，k∈ZD.x2kπ＋5π4≤x≤2kπ＋7π4，k∈Z[解析]∵2－2sinx≥0，∴sinx≤22，作出y＝sinx在－3π2，π2内的图象，如图所示，则满足条件的x∈－5π4，π4.∴使不等式成立的x的取值范围为x2kπ－5π4≤x≤2kπ＋π4，k∈Z.11[答案]C5．方程x＋sinx＝0的根有()A．0个B．1个C．2个D．无数个[解析]设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．[答案]B二、填空题6．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点π3，b，则b＝________.[解析]由题意知，b＝3＋2cosπ3＝3＋2×12＝4.[答案]47．不等式cosx0，x∈[0,2π]的解集为________．[解析]由y＝cosx，x∈[0,2π]的图象知cosx0的解为xπ2x3π2.[答案]xπ2x3π28．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－12的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝________.[解析]解法一：y＝sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－12的交点坐标为7π6，－1212和11π6，－12，故x1＋x2＝7π6＋11π6＝18π6＝3π.解法二：∵A、B两点关于x＝3π2对称，∴x1＋x2＝2×3π2＝3π.[答案]3π三、解答题9．用“五点法”作出函数y＝cosx＋π6，x∈－π6，11π6的图象．[解]找出五个关键点，列表如下：u＝x＋π60π2π3π22πx－π6π35π64π311π6y＝cosu10－101描点并将它们用光滑的曲线连接起来．10．求函数y＝sinx－12＋cosx的定义域．[解]由sinx－12≥0，cosx≥0，得sinx≥12，2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，即函数y＝sinx－12＋cosx的定义域为2kπ＋π6，2kπ＋π2(k∈Z)．综合运用1311．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图象为()[解析]y＝cosx＋|cosx|＝2cosx，x∈0，π2∪3π2，2π，0，x∈π2，3π2，故选D.[答案]D12．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根[解析]求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．故选C.[答案]C13．函数f(x)＝sinx，x≥0，x＋2，x0，则不等式f(x)12的解集是________．[解析]在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝12的图象，由图易得－32x0或π6＋2kπx