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14．4.3不同函数增长的差异1．尝试将实际问题转化为函数模型．2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．3．会根据函数的增长差异选择函数模型．1．指数函数、对数函数、一次函数的性质2.指数函数、对数函数、一次函数的增长差异(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝kx(k0)都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝kx(k0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxkxax(a1，k0)．1．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？2[答案](1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝3x比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当x100时，函数y＝10x－1比y＝lgx增长的速度快．()(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()(4)当a1，k0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logaxkxax成立．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×题型一不同函数增长的差异【典例1】(1)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝e2x(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________．[思路导引]借助指数函数、对数函数、一次函数的增长差异作出判断．[解析](1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝e2x增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案](1)D(2)y23常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y＝xn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[针对训练]1．下列函数中，增长速度最慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x[解析]对数函数的增长速度越来越慢．选B.[答案]B2．有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tC．v＝t2－12D．v＝2t－2[解析]从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.[答案]C4函数模型的选择问题【典例2】芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：上市时间t50110250种植成本Q15.010.815.0(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：①Q＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝alogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．[思路导引]要选择最能反映芦荟种植成本与上市时间之间的变化关系的函数式，应该分析各函数的变化情况，通过研究这些函数的变化趋势与表格提供的实际数据是否相符来判断哪个函数是最优函数模型．[解](1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上面三个函数均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，得15.0＝2500a＋50b＋c，10.8＝12100a＋110b＋c，15.0＝62500a＋250b＋c，解得a＝12000，b＝－320，c＝854.所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝12000t2－320t＋854.故选②.(2)当t＝150(天)时，芦荟种植成本最低，为Q＝12000×1502－320×150＋854＝10(元/千克)．不同函数模型的选取标准5(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．[针对训练]3．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如下图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．题型三指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【典例3】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．6[思路导引]利用指数函数和幂函数的图象和性质进行判断．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，所以1x12,9x210，所以x16x2.由图可知g(6)f(6)．[变式]若本例条件不变，(2)中结论改为“试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2019)，g(2019)的大小”，如何求解？[解]因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，所以1x12,9x210，所以x18x2,2019x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(8)g(8)．当xx2时，f(x)g(x)，所以f(2019)g(2019)．又因为g(2019)g(8)，所以f(2019)g(2019)g(8)f(8)．由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[针对训练]4．当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2xx2log2xB．x22xlog2x7C．2xlog2xx2D．x2log2x2x[解析]解法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x22xlog2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.[答案]B5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()[解析]设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．[答案]D课堂归纳小结1．四类不同增长的函数模型(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型．(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型．(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.2.函数模型的应用(1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.1．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()8A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数[解析]从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．[答案]C2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x[解析]由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D.[答案]D3．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%xC．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x[解析]经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.[答案]D4．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．[解析]设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(个)．[答案]2ln210245．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？[解]A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为1001＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为1001＋100－9797≈103.09(元)，收益为93.09元．通过以上分析，购买B种债券．课后作业(三十三)复习巩固一、选择题1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.