（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题六 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数

1第2讲基本初等函数、函数与方程[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019指数式与对数式的大小比较·T3函数的零点与三角恒等变换·T52018由对数值求参数问题·T13对数函数图象对称问题·T72017对数函数的单调性与对称性·T9(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第7～11题的位置，有时难度较大.(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视.考点一基本初等函数的图象与性质[例1](1)若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|(a0，且a≠1)满足f(x)≤1，则函数y＝loga(x＋1)的图象大致为()(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是单调递减函数，则f(log25)，flog315，f(log53)的大小关系是()A.flog315f(log53)f(log25)B.flog315f(log25)f(log53)C.f(log53)flog315f(log25)D.f(log25)flog315f(log53)[解析](1)由a|x|≤1(x∈R)，知0a1，又函数y＝loga(x＋1)的图象是由y＝logax的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f(x)在R上为偶函数，所以flog315＝f(－log35)＝f(log35).2由对数函数的单调性可知，log25log351log530.又因为f(x)在[0，＋∞)上为单调递减函数，所以f(log53)f(log35)f(log25)，即f(log53)flog315f(log25).[答案](1)C(2)D[解题方略]基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a1和0a1两种情况讨论：当a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a1时，两函数在定义域内都为减函数.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α0和α0两种情况的不同.[跟踪训练]1.若函数y＝a|x|(a0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()解析：选B∵y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.2.(2019·天津高考)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A.cbaB.abcC.bcaD.cab解析：选A∵a＝log27log24＝2，b＝log38log39＝2且b1，c＝0.30.20.30＝1，∴cba.故选A.3.已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)满足f2a＞f3a，则f1－1x＞0的解集为()A.(0，1)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)3解析：选C因为函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在(0，＋∞)为单调函数，而2a＜3a且f2a＞f3a，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f1－1x＞0，得0＜1－1x＜1，所以x＞1，故选C.考点二函数与方程题型一确定函数零点个数或所在区间[例2](1)(2019·新疆乌鲁木齐地区三检)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋3x－4的零点所在的区间为()A.0，14B.14，12C.12，1D.1，32(2)(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A.2B.3C.4D.5[解析](1)因为f′(x)＝ex＋3＞0，所以函数f(x)在R上单调递增.易知f12＝e12＋32－4＝e12－52，因为e＜254，所以e12＜52，所以f12＜0，但f(1)＝e＋3－4＝e－1＞0，所以结合选项可知，函数f(x)的零点所在区间为12，1，故选C.(2)令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.故选B.[答案](1)C(2)B[解题方略]41.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.判断函数零点个数的3种方法题型二根据函数的零点求参数的范围[例3](2019·江西八所重点中学联考)已知f(x)＝12|x|（x≤1），－x2＋4x－2（x＞1），若关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A.－∞，12∪[)1，2B.0，12∪[)1，2C.(1，2)D.[)1，2[解析]关于x的方程a＝f(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是0，12∪[)1，2，故选B.[答案]B5[解题方略]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法[跟踪训练]1.若函数f(x)＝2x（x＜1），log2x（x≥1），则函数g(x)＝f(x)－1的所有零点之和等于()A.4B.2C.1D.0解析：选B令g(x)＝0，则f(x)＝1，得x＜1，2x＝1或x≥1，log2x＝1，解得x＝0或x＝2，所以函数g(x)＝f(x)－1的所有零点之和等于2.故选B.2.对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b＝b－a，a＜b，b2－a2，a≥b，设f(x)＝(2x－3)⊗(x－3)，且关于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根，则k的取值范围为()A.(0，2)B.(0，3)C.(]0，2D.(]0，3解析：选B因为a⊗b＝b－a，a＜b，b2－a2，a≥b，所以f(x)＝(2x－3)⊗(x－3)＝－x，x＜0，－3x2＋6x，x≥0，其图象如图所示：6由图可得，要使关于x的方程f(x)＝k(k∈R)恰有三个互不相同的实根，则k∈(0，3).考点三函数模型及其应用[例4](1)(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1(2)某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.则该场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[解析](1)设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2，由条件m1＝－26.7，m2＝－1.45，m2－m1＝52lgE1E2，得52lgE1E2＝－1.45＋26.7＝25.25.∴lgE1E2＝25.25×25＝10.1，∴E1E2＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.(2)设该场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元).从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[答案](1)A(2)10[解题方略]1.应用函数模型解决实际问题常见类型(1)应用所给函数模型解决实际问题.(2)构建函数模型解决实际问题.2.求解函数应用问题的一般程序及关键7(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.[跟踪训练]1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝C，0＜x≤A，C＋B（x－A），x＞A.已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元解析：选A根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0＜x≤5，4＋12（x－5），x＞5，所以f(20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2.(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.0634＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点.8故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.答案：4直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用[典例]已知函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为()A.1B.2C.3D.4[解析]函数y＝f(x)＋x－4的零点个数，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象的交点的个数.如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个.故选B.[答案]B[素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数.考查了直观想象这一核心素养.[专题过关检测]A组——“12＋4”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是()9A.(0，＋∞)B.[)0，＋∞C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)