2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.6.1 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图

1第1课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．3．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响(2)ω(ω0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响(3)A(A0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响2温馨提示：A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由函数y＝sinx＋π3的图象得到y＝sinx的图象，必须向左平移．()(2)把函数y＝sinx的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝sin3x的图象．()(3)将函数y＝sinx图象上各点的纵坐标变为原来的A(A0)倍，便得到函数y＝Asinx的图象．()[答案](1)×(2)×(3)√题型一用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【典例1】用“五点法”作出函数y＝32sin13x－π3的简图．[思路导引]先列表，再描点，最后连线．[解]函数y＝32sin13x－π3的周期T＝2π13＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象．列表如下：xπ5π24π11π27π13x－π30π2π3π22π332sin13x－π30320－320描点、连线，如图所示，利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y＝32sin13x－π3的简图(图略)．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的图象的步骤(1)列表．令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，依次得出相应的(x，y)值．(2)描点．(3)连线得函数在一个周期内的图象．(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．[针对训练]1．已知f(x)＝2sinx2＋π3.(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值．[解](1)列表：4x2＋π30π2π3π22πx－2π3π34π37π310π3f(x)020－20作图：(2)由2kπ－π2≤x2＋π3≤2kπ＋π2，得4kπ－5π3≤x≤4kπ＋π3，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ－5π3，4kπ＋π3，k∈Z.(3)当x2＋π3＝π2＋2kπ，即x＝π3＋4kπ(k∈Z)时，f(x)max＝2.题型二函数图象的平移变换【典例2】要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位[思路导引]注意平移变换是就“x”而言．[解析]由y＝sin4x－π3＝sin4x－π12得，只需将y＝sin4x的图象向右平移π12个单位即可，故选B.5[答案]B平移变换的策略(1)先确定平移方向和平移的量．(2)当x的系数是1时，若φ0，则左移φ个单位；若φ0，则右移|φ|个单位．当x的系数是ω(ω0)时，若φ0，则左移φω个单位；若φ0，则右移|φ|ω个单位．[针对训练]2．将函数y＝sin2x－π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是()A．y＝sin2xB．y＝sin2x－π6C．y＝sin2x＋π6D．y＝sin2x－π3[解析]将函数y＝sin2x－π6向左平移π6个单位，得y＝sin2x＋π6－π6＝sin2x＋π6，故选C.[答案]C题型三函数图象的伸缩变换【典例3】已知函数y＝12sin2x＋π6＋54，该函数的图象可由y＝sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？[思路导引]由y＝sinx的图象通过变换得y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：一是先伸缩后平移，二是先平移后伸缩．[解]解法一：步骤：①把函数y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y＝sinx＋π6的图象；②把函数y＝sinx＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin2x＋π6的图象；6③把函数y＝sin2x＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到函数y＝12sin(2x＋π6)的图象；④再把得到的函数y＝12sin2x＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y＝12sin2x＋π6＋54的图象．解法二：步骤：①把函数y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y＝sin2x的图象；②把函数y＝sin2x的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y＝sin2x＋π6的图象；③把函数y＝sin2x＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y＝12sin2x＋π6的图象；④再把得到的函数y＝12sin2x＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y＝12sin2x＋π6＋54的图象．由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤7[针对训练]3．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A．y＝sin2x－π3，x∈RB．y＝sinx2＋π6，x∈RC．y＝sin2x＋π3，x∈RD．y＝sin2x＋2π3，x∈R[解析]把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y＝sinx＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y＝sin2x＋π3的图象．[答案]C4．把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则()A．ω＝2，φ＝π6B．ω＝2，φ＝－π38C．ω＝12，φ＝π6D．ω＝12，φ＝－π3[解析]将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，再向右平移π6个单位长度，得解析式为y＝sin2x－π6＝sin2x－π3的图象，所以ω＝2，φ＝－π3.故选B.[答案]B课堂归纳小结1．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象，其变化途径有两条：(1)y＝sinx――――――→相位变换y＝sin(x＋φ)―――――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)――――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinx――――――→周期变换y＝sinωx――――――→相位变换y＝sinωx＋φω＝sin(ωx＋φ)―――――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象也可由y＝cosx的图象变换得到．1．将函数y＝cosx的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是()A．y＝cosx＋π3B．y＝cosx－π3C．y＝cosx＋π3D．y＝cosx－π39[答案]D2．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()[解析]当x＝0时，y＝sin－π3＝－320，排除B，D.当x＝π6时，sin2×π6－π3＝sin0＝0，排除C，故选A.[答案]A3．为了得到y＝3sin2x＋π5(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x＋π5)(x∈R)的图象上所有的点的()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]y＝3sinx＋π5，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到y＝3sin2x＋π5，故选B.[答案]B4．将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()10A．y＝cos2xB．y＝1＋cos2xC．y＝1＋sin2x＋π4D．y＝cos2x－1[解析]将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝sin2x＋π4，即y＝sin2x＋π2＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x.[答案]B5．把函数y＝sin2x－π3的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，所得图象对应的解析式为______________________．[解析]将函数y＝sin2x－π3的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y＝sin2x－π4－π3＝sin2x－5π6的图象，再将所得函数y＝sin2x－5π6的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y＝sin4x－5π6的图象．[答案]y＝sin4x－5π6课后作业(五十四)复习巩固一、选择题1．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin(x－π3)的图象()A．向左平移π3个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移2π3个单位长度D．向右平移2π3个单位长度[解析]根据图象左、右平移的条件很容易得出答案应选A.[答案]A112．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20[解析]函数y＝sinx的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y＝sinx－π10的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin12x－π10的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin12x－π10.[答案]C3．把函数y＝sin2x－π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是()A．非奇非偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．奇函数D．偶函数[解析]y＝sin2x－π4图象向右平移π8个单位得到y＝sin2x－π8－π4＝sin2x－π2＝－cos2x的图象，y＝－cos2x是偶函数．[答案]D4．为了得到函数y＝2sinx3＋π6，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点()A．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到