2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.1.2 函数的最大（小）值学

1第2课时函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．2．会借助单调性求最值．3．掌握求二次函数在闭区间上的最值．1．最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≤M；②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．2．最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≥M；②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素．(2)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝1x，既没有最大值，也没有最小值．(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值．1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的x的值．2[答案]f(x)的最小值为－1，此时x＝－2；f(x)的最大值为2，此时x＝12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值．()(2)函数的最小值一定比最大值小．()(3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．()(4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】(1)已知函数f(x)＝x2，－1≤x≤1，1x，x1.求f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数f(x)＝－2x，x∈－∞，0，x2＋2x－1，x∈[0，＋∞的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[思路导引]作出函数f(x)的图象，结合图象求解．[解](1)作出函数f(x)的图象(如图1)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.3(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.图象法求最大(小)值的步骤[针对训练]1．利用图象求下列函数的最大值和最小值．(1)y＝－2x，x∈[1,3]；(2)y＝|x＋1|－|x－2|.4[解](1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点3，－23，也有最低点(1，－2)，所以函数y＝－2x，x∈[1,3]有最大值－23，最小值－2；(2)y＝|x＋1|－|x－2|＝3，x≥2，2x－1，－1x2，－3，x≤－1.作出函数的图象，由右图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】已知函数f(x)＝x＋1x.(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解](1)证明：设∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2.则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝(x1－x2)·1－1x1x2＝x1－x2x1x2－1x1x2.∵x2x11，∴x1－x20，又∵x1x21，∴x1x2－10，故(x1－x2)·x1x2－1x1x20，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)内是增函数．(2)由(1)可知f(x)在[2,4]上是增函数，∴当x∈[2,4]时，f(2)≤f(x)≤f(4)．又f(2)＝2＋12＝52，f(4)＝4＋14＝174，5∴f(x)在[2,4]上的最大值为174，最小值为52.函数的最值与单调性的关系(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．[针对训练]2．已知函数f(x)＝xx－1，x∈[2,5]，判断函数f(x)的单调性，并求函数f(x)的最大值和最小值．[解]任取2≤x1x2≤5，则f(x1)＝x1x1－1，f(x2)＝x2x2－1，f(x2)－f(x1)＝x2x2－1－x1x1－1＝x1－x2x2－1x1－1，∵2≤x1x2≤5，∴x1－x20，x2－10，x1－10，∴f(x2)－f(x1)0.∴f(x2)f(x1)．∴f(x)＝xx－1在区间[2,5]上是单调减函数．f(x)max＝f(2)＝22－1＝2，f(x)min＝f(5)＝55－1＝54.题型三求二次函数的最大(小)值【典例3】(1)已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[思路导引]找出f(x)的对称轴，分析对称轴与给定区间的关系，结合单调性求最值．[解](1)函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－7.6(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.[变式]本例(2)条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．[解]在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，即a≥f(x)max，x∈[2,4]．又f(x)max＝18－8a，a≤3，6－4a，a3.①当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.②当a3时，a≥6－4a，解得a≥65，此时有a3.综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．求解二次函数最值问题的顺序(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图．(2)在图象上标出定义域的位置．(3)观察单调性写出最值．7[针对训练]3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．4B．6C．1D．2[解析]函数f(x)＝x2＋2x＋a的对称轴为x＝－1，在[0,2]上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2，f(x)的最大值为f(2)＝8＋a＝6.[答案]B4．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．[解析]如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1a≤3.[答案](1,3]题型四实际应用中的最值【典例4】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x400.其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[思路导引]先将利润表示成关于x的函数，再利用函数的单调性求最值．[解](1)月产量为x台，则总成本为(20000＋100x)元，从而f(x)＝－12x2＋300x－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，当x＝300时，f(x)max＝25000；当x400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)60000－100×400＝2000025000.∴当x＝300时，f(x)max＝25000.8即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．[针对训练]5．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？[解]设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．∴y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000.故当x＝70时，ymax＝9000.答：售价为70元时，利润最大为9000元.课堂归纳小结1．求函数最大(小)值的常用方法(1)值域．求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值里的最值)；(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；(3)特殊函数法．利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y＝x＋ax(a0)]的单调性来求其最值.2.函数的值域与最大(小)值的区别(1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)＝M(最值)．(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)时无最值.1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为()9A．3,0B．3,1C．3，无最小值D．3，－2[解析]观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案]C2．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为()A．0B．1C．2D．3[解析]作出函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.[答案]D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A．y＝1x＋2B．y＝3x－2C．y＝x2D．y＝1－x[解析]B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案]A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．10[解析]设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．[答案]205．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：(1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]．[解](1)∵二次函数y＝x2－4x＋5的对称轴为x＝2且开口向上，∴二次函数在x∈[－1,0]上是单调递减的．∴ymin＝02－4×0＋5＝5.(2)当a≥2时，函数在x∈[a，a＋1]上是单调递增的，ymin＝a2－4a＋5；当a＋1≤2即a≤1时，函数在[a，a＋1]上是单调递减的，ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2；当a2a＋1即1a2时，ymin＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为a2－2a＋2，a≤1，1，1a2，a2－4a＋5，a