2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的性质及其应用

1第2课时指数函数的性质及其应用1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．3．会解简单的指数方程、不等式．4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．1．指数函数值与1的大小关系(1)a1时，当x0时，y1；当x0时，0y1.(2)0a1时，当x0时，0y1；当x0时，y1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0dc1ba.1．指数函数y＝ax(a0且a≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？[答案]当a1时，若x0，则y1；若x0，则0y1.当0a1时，若x0，则0y1；若x0，则y12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a0.3b，则ab.()2(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．()(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．()(4)若am1，则m0.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×题型一利用指数函数的单调性比较大小【典例1】比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引](1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解](1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3－0.4，∴0.7－0.30.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.41.21.4.(3)∵1.90.41.90＝1，0．92.40.90＝1，∴1.90.40.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．3(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．[针对训练]1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．cbaD．cab[解析]∵函数y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.70.80.9，即ab.又0.80.71,1.20.81，∴0.80.71.20.8，即ac.∴cab.选D.[答案]D题型二解简单的指数不等式【典例2】(1)解不等式：123x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1ax＋6(a0，且a≠1)，求x的取值范围．[思路导引](1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a1与0a1两种情况解不等式．[解](1)∵2＝12－1，∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1.∵y＝12x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当0a1时，函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1x＋6，∴x2－4x－50，解得x－1或x5；②当a1时，函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1x＋6，∴x2－4x－50，解得－1x5.综上所述，当0a1时，x－1或x5；当a1时，－1x5.指数不等式的求解策略(1)形如axay的不等式：可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况讨论．4(2)形如axb的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．[针对训练]2．已知32x－1≥13－0.5，求实数x的取值范围．[解]由32x－1≥13－0.5，得32x－1≥30.5.∵函数y＝3x在R上为增函数，∴2x－1≥0.5，得x≥34.故x的取值范围是34，＋∞.3．若a－5xax＋7(a0且a≠1)，求x的取值范围．[解]①当a1时，∵a－5xax＋7，且函数y＝ax为增函数，∴－5xx＋7，解得x－76.②当0a1时，∵a－5xax＋7，且函数y＝ax为减函数，∴－5xx＋7，解得x－76.综上所述，当a1时，x的取值范围为－∞，－76.当0a1时，x的取值范围为－76，＋∞.题型三指数型函数的单调性【典例3】已知函数f(x)＝13x2－2x.(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的值域．[思路导引]由函数u＝x2－2x和函数y＝13u的单调性判断．[解](1)令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝13x2－2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，5∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)，∴013u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．[变式]若本例“f(x)＝13x2－2x”改为“f(x)＝2|2x－1|”，其他条件不变，如何求解？[解](1)设u＝|2x－1|，由函数y＝2u和u＝|2x－1|的定义域为R，故函数y＝2|2x－1|的定义域为R.∵u＝|2x－1|在－∞，12上单调递减，12，＋∞上单调递增，而y＝2u是增函数，∴y＝2|2x－1|在－∞，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增．(2)∵u＝|2x－1|≥0，∴2u≥1.∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．[针对训练]4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．[解]由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%6＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[针对训练]5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[解析]假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．[答案]19课堂归纳小结1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0a1和a1两种情况进行讨论．(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解．3．研究y＝af(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1.当a1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同．当0a1时，y＝af(x)与f(x)单调性相反.71．下列判断正确的是()A．2.52.52.53B．0.820.83C．π2π2D．0.90.30.90.5[解析]函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.30.90.5.[答案]D2．若122a＋1123－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，1)D.－∞，12[解析]函数y＝12x在R上为减函数，∴2a＋13－2a，∴a12.[答案]B3．设1313b13a1，则()A．aaabbaB．aabaabC．abaabaD．abbaaa[解析]由已知条件得0ab1，∴abaa，aaba，∴abaaba.[答案]C4．函数y＝121－x的单调增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)[解析]设t＝1－x，则y＝12t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝121－x的递增区间．[答案]A5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函数f(x)的单调区间；8(2)求函数f(x)在[0,3]上的值域．[解](1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝18，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝18，所以f(x)的值域为18，2.课内拓展课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y＝f(ax)”型函数的单调性【典例1】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在[－1，1]上有最