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14.5.2用二分法求方程的近似解1．理解二分法的原理及其适用条件．2．掌握二分法的实施步骤．3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．二分法求函数零点的一般步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的一般步骤如下：(1)确定x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)0(此时零点x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)·f(b)0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．1．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：2(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？[答案](1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD(2)能2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．()(3)精确度ε就是近似值．()(4)由|a－b|ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√题型一二分法的概念【典例1】(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()A．y＝x＋7B．y＝5x－1C．y＝log3xD．y＝12x－x(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3[思路导引]依据二分法的定义进行判断．[解析](1)选项A、B、C中的函数可以直接求得零点，而选项D中的函数不可直接求得，必须用二分法求得．(2)按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.[答案](1)D(2)A二分法的2个适用条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．[针对训练]1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4[解析]能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.[答案]C题型二用二分法求方程的近似解【典例2】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．[思路导引]确定初始区间，再用二分法求解．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，f(0)·f(1)0，4所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.[变式]若本例中的方程改为“lgx＝2－x”，其他条件不变，如何求解？[解]在同一坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)＝lgx＋x－2，则f(x)的零点为x0.用计算器计算得f(1)0，f(2)0⇒x0∈(1,2)；f(1.5)0，f(2)0⇒x0∈(1.5,2)；f(1.75)0，f(2)0⇒x0∈(1.75,2)，f(1.75)0，f(1.875)0⇒x0∈(1.75,1.875)；f(1.75)0，f(1.8125)0⇒x0∈(1.75,1.8125)．∵|1.8125－1.75|＝0.06250.1，5∴方程的近似解可取为1.8125.利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．[针对训练]2．求33的近似值(精确度0.1)．[解]令33＝x，则x3＝3；令f(x)＝x3－3，则33就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－20，f(2)＝50，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．列表如下：6由于|1.5－1.4375|＝0.06250.1，所以33的近似值可取为1.4375.题型三二分法的实际应用【典例3】现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？[解]先在天平左右各放4个球，有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端．①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出．7二分法在实际问题中的应用(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的．[针对训练]3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．[解析]将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．[答案]4课堂归纳小结1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2][解析]∵f(－2)＝－3，f(1)＝6，∴f(－2)·f(1)0.∴初始区间可取[－2,1]，选8A.[答案]A2．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表：x1234567f(x)132.115.4－2.318.72－6.31－125.112.6那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．5个B．4个C．3个D．2个[解析]∵f(2)0，f(3)0，f(4)0，f(5)0，f(6)0，∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．[答案]C3．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)0，f(1)f(2)f(4)0，则下列命题正确的是()A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点[解析]由f(1)f(2)f(4)0，知f(1)，f(2)，f(4)三个都为负或只有一个为负，又因为f(0)0，∴函数f(x)在(0,4)内有零点．[答案]D4．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝32，则下一个含解的区间是________．[解析]令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－10，f(2)＝ln20，f32＝ln32－120，∴下一个含解的区间是32，2.[答案]32，25．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.5562)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．[解]由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029.∴f(1.5625)·f(1.5562)0.9又|1.5625－1.5562|＝0.00630.01，∴一个零点近似值为1.5625(不唯一)．课后作业(三十五)复习巩固一、选择题1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1[解析]因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．[答案]C2．下列函数中表示的函数能用二分法求零点的是()[解析]由于只有图C满足图象连续，且f(a)·f(b)0，故只有C能用二分法求零点．[答案]C3．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.[答案]B4．设函数y＝x2与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．