（新高考）2020版高考数学二轮复习 第二部分 讲重点 选填题专练 第3讲 不等式、线性规划教学案

1第3讲不等式、线性规划调研一不等式的性质与解法■备考工具——————————————1．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba.(2)传递性：ab，bc⇒ac.(3)可加性：ab⇒a＋cb＋c.(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.(5)加法法则：ab，cd⇒a＋cb＋d.(6)乘法法则：ab0，cd0⇒acbd.(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b.(2)a0b⇒1a1b.(3)ab0,0cd⇒acbd.3．分式不等式的解法(1)fxgx0(0)⇔f(x)·g(x)0(0)；(2)fxgx≥0(≤0)⇔fx·gx≥0≤0，gx≠0.4．一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．(2)更换主元法：如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．(3)分离参数法：如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.2■自测自评——————————————1．[2019·石家庄质检]已知a0b，则下列不等式一定成立的是()A．a2－abB．|a||b|C.1a1bD.12a12b解析：通解：当a＝1，b＝－1时，满足a0b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，12a12b，∴A，B，D不一定成立．∵a0b，∴b－a0，ab0，∴1a－1b＝b－aab0，∴1a1b一定成立，故选C.优解：∵a0b，∴1a01b，∴1a1b一定成立，故选C.答案：C2．[2019·赣中南五校联考]对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2bc2，则ab；②若ab，cd，则a＋cb＋d；③若ab，cd，则acbc；④若ab，则1a1b.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①ac2bc2，则c≠0，则ab，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，比如令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足ab，cd，但ac＝－4bd＝－3；④错误，比如令a＝－1，b＝－2，满足ab，但1a＝1－11b＝1－2.故选B.答案：B3．[2019·河南六市模拟]若1a1b0，则下列结论不正确的是()A．a2b2B．abb2C．a＋b0D．|a|＋|b||a＋b|解析：因为1a1b0，所以ba0，所以b2a2，abb2，a＋b0，所以A，B，C均正确，而|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误，故选D.答案：D4．[2019·安徽六校一中月考]在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋40有解，则m的取值范围为()A．m－4B．m－4C．m－5D．m－53解析：记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋40在区间(1,2)上有解，需满足f(1)0或f(2)0，即m＋50或2m＋80，解得m－5.故选C.答案：C5．[2019·青岛城阳一中月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，则不等式x2－bx－a0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.13，12D.－∞，13∪12，＋∞解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是－12，－13，∴a0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－12，－13，－－ba＝－12－13，－1a＝16，∴a＝－6，b＝5，∴x2－bx－a0，即x2－5x＋60，(x－2)(x－3)0，∴2x3，故选A.答案：A6．[2019·湖北重点中学考试]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)1}，则A∩B＝()A．{x|－2x1}B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|x1}D．∅解析：通解：解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，则A＝{x|x≤1或x≥2}．解不等式log3(x＋2)1，得－2x1，则B＝{x|－2x1}，则A∩B＝{x|－2x1}，故选A.优解：因为－2∈A且－2∉B，故排除B、C，又0∈A且0∈B，故排除D，故选A.答案：A7．[2019·湖南四校调研]已知集合A＝{x|－1x1}，B＝{x|x2－x－20}，则(∁RA)∩B＝()A．(－1,0]B．[－1,2)C．[1,2)D．(1,2]解析：通解：由题意知，∁RA＝{x|x≥1或x≤－1}，又B＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，所以(∁RA)∩B＝{x|1≤x2}，故选C.优解：因为1∉A且1∈B，所以排除A，D，又－1∉B，所以排除B，故选C.答案：C8．[2019·福建五校联考]已知集合A＝{x|－1x2}，B＝{x|y＝－x2－2x}，则A∩B＝()A．{x|－1x0}B．{x|－1x≤0}4C．{x|0x2}D．{x|0≤x2}解析：因为函数y＝－x2－2x有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1x2}，所以A∩B＝{x|－1x≤0}．故选B.答案：B调研二基本不等式■备考工具——————————————1．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a0，b0，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)几个常用的重要结论①ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；②a＋1a≥2(a0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a0，当且仅当a＝－1时取等号)；③ab≤a＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；④21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b0，当且仅当a＝b时取等号)．2．利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值s24(简记：和定积最大)．■自测自评——————————————1．[2018·天津卷]已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋18b＝23b－6＋123b≥223b－6×123b＝2×2－3＝14，当且仅当23b－6＝123b，即b＝1时等号成立．答案：142．[2019·南京调研]已知实数x0，y0，且满足xy＋x＋2y＝4，则x＋2y的最小值为5________．解析：解法一：(拼凑法)∵xy＋x＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6，即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12.∵x0，y0，∴x＋22,2y＋22.∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2x＋22y＋2＝212＝43.当且仅当x＋2＝2y＋2，即x＝23－2，y＝3－1时取“＝”．∴x＋2y≥43－4.即(x＋2y)min＝43－4.解法二：(判别式法)令x＋2y＝t，则t0,2y＝t－x，∴x·t－x2＋t＝4.整理得x2－tx＋8－2t＝0，由Δ≥0，得t2－4(8－2t)≥0，(t＋4)2≥48.∵t0，∴t＋4≥43，∴t≥43－4.即x＋2y的最小值为43－4.方法3：(解不等式法)∵x0，y0，∴4＝x＋2y＋12·x·2y≤x＋2y＋12·x＋2y22.∴(x＋2y)2＋8(x＋2y)－32≥0.解得x＋2y≥43－4.答案：43－43．[2018·东北三省四市一模]已知x0，y0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8B．9C．12D．6解析：由题意可得4y＋1x＝1，则x＋y＝(x＋y)·4y＋1x＝5＋4xy＋yx≥5＋24xy×yx＝9，当且仅当x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.选B.答案：B4．已知x0，y0，且2x＋1y＝1，若x＋2ym2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：记t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2mtmin.因为2x＋1y＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)·2x＋1y＝4＋4yx＋xy.6而x0，y0，所以4yx＋xy≥24yx×xy＝4.(当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时等号成立)．所以t＝4＋4yx＋xy≥4＋4＝8，即tmin＝8.故m2＋2m8，即(m－2)(m＋4)0，解得－4m2.所以实数m的取值范围为(－4,2)．答案：(－4,2)5．若a，b∈R，ab0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．解析：因为ab0，所以a4＋4b4＋1ab≥24a4b4＋1ab＝4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当a2＝2b2，ab＝12时取等号，故a4＋4b4＋1ab的最小值是4.答案：46．[2019·天津卷]已知a∈R.设函数f(x)＝x2－2ax＋2a，x≤1，x－alnx，x1.若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为()A．[0,1]B．[0,2]C．[0，e]D．[1，e]解析：解法一：当a＝0时，不等式f(x)≥0恒成立，排除D；当a＝e时，f(x)＝x2－2ex＋2e，x≤1，x－elnx，x1，当x≤1时，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值为f(1)＝10，满足f(x)≥0；当x1时，由f(x)＝x－elnx可得f′(x)＝1－ex＝x－ex，易得f(x)在x＝e处取得极小值(也是最小值)f(e)＝0，满足f(x)≥0恒成立，排除A，B.故选C.解法二：若x≤1，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a，当a≤1时，可得f(x)的最小值为f(a)＝－a2＋2a，令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；当a1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件．所以a≥0.若x1，由f(x)＝x－alnx可得f′(x)＝1－ax＝x－ax，当a≤1时，f′(x)0，则f(x)单调递增，故只需f(1)≥0，显然成立；当a1时，由f′(a)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值为f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1a≤e，所以a≤e，a的取值范围是7[0，e]．答案：C调研三线性规划■备考工具——————————————1．二元一次不等式表示的平面区域当A0时，区域Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0的右侧；区域Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0的左侧．2．线性目标函数的最值问题求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．3．利用线性规划求目标函数最