搜索
11．4.1充分条件与必要条件1．理解充分、必要条件的概念．2．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件．1．命题及相关概念2．充分条件与必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．2(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．1．“对角线相等的平行四边形是矩形”(1)这个命题是真命题吗？(2)将命题改写为“若p，则q”的形式．(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．[答案](1)是真命题(2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形(3)充分条件2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．()(3)若q是p的必要条件，则由p推出的结论q是不唯一的．()(4)数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×题型一充分、必要条件的概念及语言表述【典例1】将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：(1)两个全等三角形的对应高相等；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．[解](1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．3(1)对充分、必要条件的理解①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x2，x3都是x0的充分条件．②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x0，x5等都是x9的必要条件．(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤第一步：分析定理的条件和结论；第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．[针对训练]1．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分、必要条件的语言表述：(1)对顶角相等；(2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同．[解](1)若两个角是对顶角，则两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件．(2)在平面直角坐标系中，若两点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以在平面直角坐标系中，“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件；“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”的必要条件.题型二充分条件、必要条件的判定【典例2】判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？(1)p：x1，q：x21；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac0，q：函数图象与x轴有交点．[思路导引]判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．[解](1)由x1可以推出x21，因此p是q的充分条件；由x21，得x－1，或x1，不一定有x1.因此，p不是q的必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ0，因此p不是q的必要条件．4充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．[针对训练]2．判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．(1)p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；(2)设a，b是实数，p：“a＋b0”，q：“ab0”；(3)已知a，b为正实数，p：ab1，q：a2b20.[解析](1)当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)由a＋b0不一定能推出ab0，故p不是q的充分条件．(3)因为ab1⇒a2b20，所以p是q的充分条件．[答案](1)(3)3．在下列各题中，q是p的必要条件的是________．(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．[解析](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，∴q是p的必要条件．(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，∴q不是p的必要条件．(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m0，解得m－14.∵m－2⇒m－14，∴q是p的必要条件．5[答案](1)(3)题型三充分条件、必要条件与集合的关系【典例3】(1)已知p：关于x的不等式3－m2x3＋m2，q：0x3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．(2)已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围．[思路导引]p是q的充分条件转化为对应集合A⊆集合B，q是p的必要条件转化为集合A⊆集合B.[解](1)记A＝x|3－m2x3＋m2，B＝{x|0x3}，若p是q的充分条件，则A⊆B.注意到B＝{x|0x3}≠∅，分两种情况讨论：①若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意；②若A≠∅，即3－m23＋m2，解得m0，要使A⊆B，应有3－m2≥0，3＋m2≤3，m0，解得0m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．(2)由已知可得A＝y|y＝x－322－54，x∈R＝y|y≥－54，B＝{x|x≥－2m}．因为q是p的必要条件，所以p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－54，所以m≥58，即m的取值范围是m|m≥58.[变式]本例(1)中若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]记A＝x|3－m2x3＋m2，B＝{x|0x3}，若p是q的必要条件，则B⊆A.6应有3－m2≤0，3＋m2≥3，解得m≥3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≥3}．(1)利用充分、必要条件求参数的思路根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．(2)从集合角度看充分、必要条件：设命题p、q分别对应集合A、B，若A⊆B，则p是q的充分条件；若B⊆A，则p是q的必要条件．[针对训练]4．已知条件p：x2＋x－6＝0，条件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值．[解]解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝－1m，∵q是p的充分条件，∴B⊆A.当－1m＝2时，m＝－12；当－1m＝－3时，m＝13.所以m＝－12或m＝13.课堂归纳小结1．能够将一个命题改写成“若p，则q”的形式，并能准确地用语言表述充分条件、必要条件．2．充分条件、必要条件的判断，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”的真假，“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，否则p不是q的充分条件．“若q，则p”为真命题，则p是q的必要条件．3．掌握集合的包含关系与充分条件、必要条件的关系.71．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析]因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案]A2．设x∈R，则x2的一个必要条件是()A．x1B．x1C．x3D．x3[解析]因为x2⇒x1，所以选A.[答案]A3．下列命题中，是真命题的是()A．“x20”是“x0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件[解析]A中，x20⇒x0或x0，不能推出x0，而x0⇒x20，故x20是x0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|1，故|x|1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案]B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案]不必要(填必要、不必要)5．(1)若“xm”是“x2或x1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1xa＋1}，N＝{x|－3x8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解](1)记A＝{x|x2或x1}，B＝{x|xm}由题意可得B⊆A，即{x|xm}⊆{x|x2或x1}．所以m≤1.故m的取值范围为{m|m≤1}．(2)因为N是M的必要条件，所以M⊆N.8于是a－1≥－3，a＋1≤8，从而可得－2≤a≤7.故a的取值范围为{a|－2≤a≤7}．课后作业(六)复习巩固一、选择题1．命题“菱形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是菱形[解析]命题可改为“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.[答案]C2．俗语云“好人有好报”，这句话的意思中：“好人”是“有好报”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分又不必要条件D．无法判断[解析]这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．选A.[答案]A3．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.[答案]B4．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“acbc”是“ab”的充分条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“acbc”是“ab”的必要条件9D．“a2b2”是“ab”的充分条件[解析