2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1 基本不等式学案

1第1课时基本不等式1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式．两个不等式a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，ab≠a＋b2，即只能有a2＋b22ab，aba＋b2.1．不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[答案]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b2成立的条件是a，b均为正实数2．a＋1a≥2(a≠0)是否恒成立？2[答案]只有a0时，a＋1a≥2，当a0时，a＋1a≤－23．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2ab均成立．()(2)若a≠0，则a＋4a≥2a·4a＝4.()(3)若a，b∈R，则ab≤a＋b22.()[答案](1)×(2)×(3)√题型一对基本不等式的理解【典例1】给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy0，所以xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．②D．①③[思路导引]根据基本不等式中的条件进行判断．[解析]从基本不等式成立的条件考虑．①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以4a＋a≥24a·a＝4是错误的；③由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将xy＋yx看成一个整体提出负号后，－xy，－yx均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案]D3基本不等式a＋b2≥ab(a0，b0)的2个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.[针对训练]1．下列命题中正确的是()A．当a，b∈R时，ab＋ba≥2ab·ba＝2B．当a0，b0时，(a＋b)1a＋1b≥4C．当a4时，a＋9a≥2a·9a＝6D．当a0，b0时，2aba＋b≥ab[解析]A项中，可能ba0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，相乘得(a＋b)1a＋1b≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C项中，a＋9a≥2a·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式知，2aba＋b≤ab(a0，b0)，所以D不正确．[答案]B题型二利用基本不等式证明不等式【典例2】(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋cab＋bc＋ca.(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，4求证：1a－11b－11c－1≥8.[思路导引](1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式；(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，可由此变形入手．[证明](1)∵a0，b0，c0，∴a＋b≥2ab0，b＋c≥2bc0，c＋a≥2ca0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋cab＋bc＋ca.(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，∴1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．[针对训练]2．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.[证明]由基本不等式可得：a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，5同理：b4＋c2≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.课堂归纳小结利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.1．若ab0，则下列不等式不一定能成立的是()A．a2＋b2≥2abB．a2＋b2≥－2abC．a＋b2≥abD．ba＋ab≥2[解析]C选项由条件可得到a、b同号，当a、b均为负号时，不成立．[答案]C2．已知a1，则a＋12，a，2aa＋1三个数的大小顺序是()A.a＋12a2aa＋1B.aa＋122aa＋1C.2aa＋1aa＋12D.a2aa＋1≤a＋12[解析]当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈R＋)，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12.又a1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.[答案]C3.ba＋ab≥2成立的条件是________．[解析]只要ba与ab都为正，即a、b同号即可．[答案]a与b同号4．设a，b，c都是正数，试证明不等式：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.[证明]因为a0，b0，c0，6所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，bc＋cb≥2，所以ba＋ab＋ca＋ac＋bc＋cb≥6，当且仅当ba＝ab，ca＝ac，cb＝bc，即a＝b＝c时，等号成立．所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6.课后作业(十一)复习巩固一、选择题1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0[解析]a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．[答案]B2．对x∈R且x≠0都成立的不等式是()A．x＋1x≥2B．x＋1x≤－2C.|x|x2＋1≥12D.x＋1x≥2[解析]因为x∈R且x≠0，所以当x0时，x＋1x≥2；当x0时，－x0，所以x＋1x＝－－x＋1－x≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以|x|x2＋1≤12，所以C错误，故选D.[答案]D3．若0ab且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.12B．a2＋b2C．2abD．a[解析]a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋b22＝12.∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，7∵0ab且a＋b＝1，∴a12，∴a2＋b2最大．[答案]B4．若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当a0，b0时，a＋b≥2ab，则当a＋b≤4时有2ab≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝54，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．[答案]A5．已知x0，y0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.1x＋yB.141x＋1yC.12x2＋y2D.12xy[解析]解法一：∵x＋y2xy，∴1x＋y12xy，排除D；∵141x＋1y＝x＋y4xy＝14xyx＋y1x＋y2x＋y＝1x＋y，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy2(x2＋y2)，∴1x＋y12x2＋y2，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则1x＋y＝13；141x＋1y＝38；12x2＋y2＝110；12xy＝122＝18.其中110最小．[答案]C二、填空题6．已知abc，则a－bb－c与a－c2的大小关系是________.[解析]∵abc，∴a－b0，b－c0.∴a－c2＝a－b＋b－c2≥a－bb－c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．8[答案]a－bb－c≤a－c27．若不等式x2＋2x2＋1≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．[解析]x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2x2＋11x2＋1＝2，其中当且仅当x2＋1＝1x2＋1⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．[答案]08．若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.[解析]令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2ab⇒ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；1a＋1b＝a＋bab＝2ab≥2，⑤正确．[答案]①③⑤三、解答题9．设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.[证明]因为a，b，c都是正数，所以bca，acb，abc也都是正数．所以bca＋acb≥2c，acb＋abc≥2a，bca＋abc≥2b，三式相加得2bca＋acb＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋acb＋abc≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．10．已知a0，b0，a＋b＝1，求证1＋1a1＋1b≥9.[证明]证法一：因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，故1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.9所以1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时取等号)．证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，ab≤a＋b22＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9当且仅当a＝b＝12时等号成立.综合运用11．已知a0，b0，则a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是()A.a＋b2B.abC.a2＋b22D.2aba＋b[解析]因为a0，b0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，a＋b2≥ab，a2＋b22＝2a2＋b24≥a＋b24＝a＋b2(当且仅当a＝b0时，等号成立)．所以a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是2aba＋b，故选D.[答案]D12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.1ab≥8B.1a＋1b≥4C.ab≥12D.1a2＋b2≤12[解析]∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2ab，又a＋b＝1，∴2ab≤1，即ab≤12.∴ab≤14.∴1ab≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(