（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题六 函数与导数 第3讲 导数的几何意义及简

1第3讲导数的几何意义及简单应用[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019导数的几何意义，求切线方程·T13导数的几何意义，求切线方程·T10利用导数的几何意义求参数·T7利用导数研究函数的极值·T21(1)利用导数讨论函数的单调性与最值·T202018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T6利用导数的几何意义求切线方程·T13利用导数的几何意义求切线方程·T21(1)利用函数的极值点求参数及单调区间·T21利用导数求函数的单调区间·T21(1)2017利用导数的几何意义求切线方程·T14利用导数研究函数的单调性·T21(1)利用导数研究函数的单调性·T21(1)利用导数研究函数的单调性·T21(1)(1)此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小.(2)应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般.考点一导数的几何意义[例1](1)(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A.x－y－π－1＝0B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0D.x＋y－π＋1＝02(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1[解析](1)设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.(2)y′＝aex＋lnx＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.∵已知切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.故选D.[答案](1)C(2)D[解题方略]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.[跟踪训练]1.(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.2B.32C.12D.14解析：选Df′(x)＝1＋1x，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，12，0，3则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D.2.(2019·江西八所重点中学联考)已知曲线y＝1x＋lnxa在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________.解析：因为y＝f(x)＝1x＋lnxa，所以f′(x)＝－1x2＋1ax，所以曲线y＝1x＋lnxa在x＝1处的切线l的斜率k＝f′(1)＝－1＋1a.直线2x＋3y＝0的斜率k′＝－23.因为切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以－1＋1a×－23＝－1，得a＝25.答案：253.已知函数f(x)＝12x－14sinx－34cosx的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tanx0＝________.解析：∵f(x)＝12x－14sinx－34cosx，∴f′(x)＝12－14cosx＋34sinx＝12＋12sinx－π6.∵函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，∴12＋12sinx0－π6＝1，∴x0－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，∴x0＝2π3＋2kπ，k∈Z，∴tanx0＝tan2π3＋2kπ＝tanπ－π3＝－tanπ3＝－3.答案：－3考点二利用导数研究函数的单调性[例2](1)(2019·广东省七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x)，当x≠0时，有xf′(x)＜0，则下列各项正确的是()A.f(－1)＋f(2)＞2f(0)B.f(－1)＋f(2)＝2f(0)C.f(－1)＋f(2)＜2f(0)D.f(－1)＋f(2)与2f(0)大小关系不确定4(2)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性.[解析](1)由题意得，x＜0时，f(x)是增函数，x＞0时，f(x)是减函数，∴x＝0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，∴f(－1)＜f(0)，f(2)＜f(0)，两式相加得，f(－1)＋f(2)＜2f(0)，故选C.[答案]C[解](2)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)＜0；当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)＞0.故f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增.[解题方略]求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论.(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.[跟踪训练]51.(2019·唐山市摸底考试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选A法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x＞0时，ex＞e－x，所以x(ex－e－x)＞0，又ex＋e－x＞0，所以f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以函数f(x)为奇函数.又f(1)＜f(2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.2.若本例(2)变为：已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，∵f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，∴(2ex＋a)(ex－a)≥0，∴－2ex≤a≤ex在[1，＋∞)上恒成立，∴－2e≤a≤e，∴实数a的取值范围为[－2e，e].3.若本例(2)变为：函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x在[1，＋∞)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f′(x)＝2e2x－aex－a2，设t＝ex，∵x∈[1，＋∞)，∴t∈[e，＋∞)，即g(t)＝2t2－at－a2在[e，＋∞)上有零点.∴g(e)＝2e2－ae－a20，解得ae或a－2e，∴实数a的取值范围为(－∞，－2e)∪(e，＋∞).考点三利用导数研究函数的极值(最值)问题6题型一求已知函数的极值(最值)[例3](1)(2019·昆明市质量检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋clnx(a＞0)在x＝1和x＝2处取得极值，且极大值为－52，则函数f(x)在区间(]0，4上的最大值为()A.0B.－52C.2ln2－4D.4ln2－4(2)已知函数f(x)＝xlnx＋2x()x＞1，则函数f(x)的极小值为________.[解析](1)f′(x)＝2ax＋b＋cx＝2ax2＋bx＋cx(x＞0，a＞0).因为函数f(x)在x＝1和x＝2处取得极值，所以f′(1)＝2a＋b＋c＝0①，f′(2)＝4a＋b＋c2＝0②.又a＞0，所以当0＜x＜1或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，当1＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.所以当x＝1时，f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＝－52③.联立①②③，解得a＝12，b＝－3，c＝2.f(4)＝12×16－3×4＋2ln4＝4ln2－4，经比较函数f(x)在区间(]0，4上的最大值是f(4)＝4ln2－4.故选D.(2)f(x)＝xlnx＋2x(x＞1)，f′(x)＝lnx－1＋2ln2xln2x，令f′(x)＝0，得2ln2x＋lnx－1＝0，解得lnx＝12或lnx＝－1(舍去)，即x＝e12.当1＜x＜e12时，f′(x)＜0，当x＞e12时，f′(x)＞0，∴f(x)的极小值为f(e12)＝e1212＋2e12＝4e12.[答案](1)D(2)4e12[解题方略]利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.7(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.题型二由函数的极值(最值)确定参数值(范围)[例4]已知函数f(x)＝2lnx－2ax＋x2有两个极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围.[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2a＋2x＝2（x2－ax＋1）x，令f′(x)＝0，即x2－ax＋1＝0，要使f(x)在(0，＋∞)上有两个极值点，则方程x2－ax＋1＝0有两个不相等的正根，则Δ＝a2－40，x1＋x2＝a0，解得a2，x1x2＝10，∴实数a的取值范围为(2，＋∞).[解题方略]已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性[跟踪训练]1.函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.(－1，3)为函数y＝f(x)的单调递增区间B.(3，5)为函数y＝f(x)的单调递减区间8C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x＜－1或3＜x＜5时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减；当x＞5或－1＜x＜3时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增.所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞).函数y＝f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.2.设函数f(x)＝x22－klnx，k＞0在x＝1处取得极小值，则极小值为()A.－12B.12C.－1D.1解析：选Bf′(x)＝x－kx＝x2－kx.由f′(x)＝0解得x＝k()x＝－k舍去.f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：x(0，k)k()k，＋∞f′(x)－＋f(x)k（1－lnk）