2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性

12．1等式性质与不等式性质1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．2．掌握不等式的有关性质．3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab.反过来也对．这个基本事实可以表示为：ab⇔a－b0，a＝b⇔a－b＝0，ab⇔a－b0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.3．不等式的性质(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab⇔ba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bc⇒ac.(3)如果ab，那么a＋cb＋c.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.(5)如果ab，cd，那么a＋cb＋d.(6)如果ab0，cd0，那么acbd.(7)如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．21．若ab，且ab0，则1a与1b的大小关系如何？[答案]因为ab0，所以a与b同号．而1a－1b＝b－aab，又ab，所以b－a0.所以1a－1b0，即1a1b2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＝b是ac＝bc成立的充要条件．()(2)若ab，则acbc一定成立．()(3)若a＋cb＋d，则ab，cd.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×题型一用不等式(组)表示不等关系【典例1】商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[思路导引]根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．[解]若提价后商品的售价为x元，则销售量减少x－101×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．[针对训练]1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩3形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．[答案]12(a2＋b2)ab2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2m的免票，身高1.2～1.5m的儿童火车票为半价，身高超过1.5m的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？[解]设身高为hm，文字表述身高不足1.2m身高在1.2～1.5m间身高超过1.5m符号表示h1.21.2≤h≤1.5h1.5票价免费半价票全价票题型二数(式)的大小比较【典例2】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与3x；(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．[思路导引]我们知道，a－b0⇔ab，a－b0⇔ab.因此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．[解](1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥340，∴x2＋33x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a0，b0且a≠b，∴(a－b)20，a＋b0.4∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)0，即a3＋b3a2b＋ab2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．[针对训练]3．已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，比较m和n的大小．[解]∵m－n＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝x＋y2－4xyxyx＋y＝x－y2xyx＋y.又x，y均为正数，∴x0，y0，xy0，x＋y0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n(当x＝y时，等号成立)．4．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．[解]∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取等号.题型三利用不等式的性质判断或证明不等式【典例3】(1)对于实数a，b，c，给出下列命题：①若ab，则ac2bc2；②若ab0，则a2abb2；③若ab，则a2b2；④若ab0，则abba.其中正确命题的序号是________．(2)已知ab，ef，c0.求证：f－ace－bc.[思路导引](1)直接利用不等式的基本性质判断；(2)首先由性质4得到－bc－ac，5再由性质5证明．[解析](1)对于①∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；对于②，ab0⇒a2ab；ab0⇒abb2，∴②正确；对于③，若0ab，则a2b2，如－1－2，但(－1)2(－2)2，∴③不正确；对于④，∵ab0，∴－a－b0，∴(－a)2(－b)2，即a2b2.又∵ab0，∴1ab0，∴a2·1abb2·1ab，∴abba，④正确．(2)证明：∵ab，c0，∴acbc，∴－ac－bc.∵fe，∴f－ace－bc.[答案](1)②④(2)见解析(1)利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[针对训练]5．若bc－ad≥0，bd0.求证：a＋bb≤c＋dd.6[证明]∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd0，∴ab≤cd，∴ab＋1≤cd＋1，∴a＋bb≤c＋dd.6．若ab0，cd0，e0，求证：ea－c2eb－d2.[证明]∵cd0，∴－c－d0，又ab0，∴a－cb－d0，则(a－c)2(b－d)20，即1a－c21b－d2.又e0，∴ea－c2eb－d2.题型四利用不等式的性质求取值范围【典例4】已知1a4,2b8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．[思路导引]欲求a－b的范围，应先求－b的范围，再利用不等式的性质求解．[解]∵1a4,2b8，∴22a8,63b24∴82a＋3b32.∵2b8，∴－8－b－2.又∵1a4，∴1＋(－8)a＋(－b)4＋(－2)，即－7a－b2.故82a＋3b32，－7a－b2.[变式](1)在本例条件下，求ab的取值范围．(2)若本例改为：已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．[解](1)∵2b8，∴181b12，又1a4，∴18ab2.(2)设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝x＋y2，b＝x－y2，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝12x＋52y.又12≤12x≤52，－52≤52y≤152，∴－2≤12x＋52y≤10.7即－2≤3a－2b≤10.同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[针对训练]7．已知－12≤αβ≤12，求α＋β2、α－β3的取值范围．[解]∵－12≤αβ≤12，∴－14≤α214，－14β2≤14.两式相加得－12α＋β212.∵－16≤α316，－16≤－β316，两式相加得－13≤α－β313.又∵αβ，∴α－β30，∴－13≤α－β30.课堂归纳小结1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)．最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.1．下列说法正确的为()8A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若xy，则x2y2[解析]∵1x＝1y，且x≠0，y≠0，两边同乘以xy，得x＝y.[答案]A2．设a，b为非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．ab2a2bC．1ab21a2bD．baab[解析]用a＝－1，b＝1，试之，易排除A，D.再取a＝1，b＝2，易排除B.[答案]C3．下列命题中正确的个数是()①若ab，b≠0，则ab1；②若ab，且a＋cb＋d，则cd；③若ab，且acbd，则cd.A．0B．1C．2D．3[解析]①若a＝2，b＝－1，则不符合；②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足ab且a＋cb＋d，但不满足cd，故错；③当a＝－2，b＝－3，取c＝－1，d＝2，则不成立．[答案]A4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系为________．[解析]∵x≠2或y≠－1，∴M－N＝x2＋y2－4x＋2y＋5＝(x－2)2＋(y＋1)20，∴MN.[答案]MN5．若－1≤a≤3,1≤b≤2，则a－b的范围为________．[解析]∵－1≤a≤3，－2≤－b≤－1，∴－3≤a－b≤2.[答案]－3≤a－b≤2课后作业(十)复习巩固一、选择题1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所9需要的月数x的不等式是()A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400D．30x＋40≤400[解析]x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.[答案]B2．已知ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．adbcB．acbdC．a＋cb＋dD．a－cb－d[解析]由ab，cd得a＋cb＋d，故选C.[答案]C3．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则()A．abB．abC．a≥bD．a≤b[解析]a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.[答案]C4．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若ab，cb，则acB．若a－b