2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 根式学案 新人教A版必

1第1课时根式1．理解n次方根、n次根式的概念．2．正确运用根式运算性质化简、求值．3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．1．根式的概念一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±na，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.式子na叫做根式，其中n(n1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝a.(2)当n是奇数时，nan＝a；当n是偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.温馨提示：(na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而(nan)中a∈R.1．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？[答案]有2个，表示为±432．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()2(4)3－π2＝π－3.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√题型一根式的意义【典例1】下列说法正确的个数是()①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．A．1B．2C．3D．4(2)已知m10＝2，则m等于()A.102B．－102C.210D．±102[思路导引]利用n次方根的概念求解．[解析](1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④.(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．∴m＝±102.[答案](1)B(2)Dn(n1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，na为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致．[针对训练]1．16的平方根为________，－27的5次方根为________．[解析]∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.[答案]±45－2732．若4x－2有意义，则实数x的取值范围是________．[解析]要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[答案][2，＋∞)题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1)5－25；(2)4－104；(3)4－92；(4)4a－b4.[思路导引]利用nan的性质进行化简．[解](1)5－25＝－2.(2)4－104＝|－10|＝10.(3)4－92＝434＝3.(4)4a－b4＝|a－b|＝a－ba≥b，b－aab.根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．[针对训练]3．计算下列各式的值：(1)3－43；(2)63－π6；(3)31＋23＋41－24；(4)42x＋y4.[解](1)3－43＝－4.4(2)63－π6＝|3－π|＝π－3.(3)31＋23＋41－24＝(1＋2)＋(2－1)＝22.(4)42x＋y4＝|2x＋y|＝2x＋y，y≥－2x，－2x－y，y－2x.题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6x2－4x＋43.[思路导引]借助根式的性质去掉根号并化简．[解](4x－1)4＋6x2－4x＋43＝(4x－1)4＋6x－26∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式]若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解](4x－1)4＋6x2－4x＋43＝(4x－1)4＋6x－26∵2≤x≤3，∴x－10，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[针对训练]4．若nm0，则m2＋2mn＋n2－m2－2mn＋n2等于()A．2mB．2nC．－2mD．－2n[解析]原式＝m＋n2－m－n2＝|m＋n|－|m－n|，∵nm0，∴m＋n0，m－n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.[答案]C5．设－2x2，求x2－2x＋1－x2＋4x＋4的值．[解]原式＝x－12－x＋22＝|x－1|－|x＋2|，5∵－2x2，∴当－2x1时，原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1，当1≤x2时，原式＝x－1－(x＋2)＝－3，∴原式＝－2x－1，－2x1，－3，1≤x2.课堂归纳小结1．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况．n为奇数时，n次方根只有一个；n为偶数时，正数的n次方根有两个，负数没有偶次方根.2.掌握两个公式：(1)(na)n＝a；(2)n为奇数，nan＝a，n为偶数，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.1．以下说法正确的是()A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(n∈N*)D．a的n次方根是na[解析]当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a0时，na无意义，故D错误．[答案]C2．81的4次方根是()A．2B．±2C．3D．±3[解析]∵(±3)4＝81，∴81的4次方根为±3.[答案]D3．下列各式正确的是()6A.6－32＝3－3B.4a4＝aC.622＝32D．a0＝1[解析]6－32＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．[答案]C4．已知4a＋12＝－4a－1，则实数a的取值范围是________．[解析]∵4a＋12＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－14.[答案]－∞，－145．已知4a4＋4b4＝－a－b，求4a＋b4＋3a＋b3的值．[解]因为4a4＋4b4＝－a－b.所以4a4＝－a，4b4＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.课后作业(二十五)复习巩固一、选择题1．已知x5＝6，则x等于()A.6B.56C．－56D．±56[解析]由x5＝6可知x＝56.[答案]B2．下列各式正确的是()A.－32＝－3B.a2＝aC.22＝2D.3－23＝2[解析]由于－32＝3，a2＝|a|,3－23＝－2，故A、B、D错误．7[答案]C3.a－b2＋5a－b5的值是()A．0B．2(a－b)C．0或2(a－b)D．a－b[解析]若a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，若ab，则原式＝b－a＋a－b＝0，故选C.[答案]C4．若2a3，化简2－a2＋43－a4的结果是()A．5－2aB．2a－5C．1D．－1[解析]由于2a3，所以2－a0,3－a0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.故选C.[答案]C5．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果为()A．2x－5B．－2x－1C．－1D．5－2x[解析]由2－x有意义得x≤2.所以x2－4x＋4－x2－6x＋9＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.[答案]C二、填空题6．若x≠0，则|x|－x2＋x2|x|＝________.[解析]∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋|x||x|＝1.[答案]17．化简：b－2b－1(1b2)＝________.[解析]原式＝b－12＝b－1(1b2)．[答案]b－18．若2a－12＝31－2a3，则实数a的取值范围为________．[解析]2a－12＝|2a－1|，31－2a3＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤12.8[答案]－∞，12三、解答题9．化简：(1)e＋e－12－4＋e－e－12＋4(e≈2.7)；(2)x－22＋6x＋26.[解](1)原式＝e2＋2＋e－2－4＋e2－2＋e－2＋4＝e－e－12＋e＋e－12＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.(2)原式＝|x－2|＋|x＋2|.当x≤－2时，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；当－2x2时，原式＝(2－x)＋(x＋2)＝4；当x≥2时，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.综上，原式＝－2x，x≤－2，4，－2x2，2x，x≥2.10．已知ab0，n1，n∈N*，化简na－bn＋na＋bn.[解]∵ab0，∴a－b0，a＋b0.当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.∴na－bn＋na＋bn＝2a，n为奇数，－2a，n为偶数.综合运用11．下列式子中成立的是()A．a－a＝－a3B．a－a＝－a3C．a－a＝－－a3D．a－a＝a3[解析]要使a－a有意义，则a≤0，故a－a＝－(－a)－a＝－－a2－a＝－－a3，故选C.[答案]C12.7＋43＋7－43等于()A．－4B．239C．－23D．4[解析]7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.[答案]D13．化简(a－1)2＋1－a2＋31－a3的结果是()A．1－aB．2(1－a)C．a－1D．2(a－1)[解析]∵a－1有意义，∴a－1≥0，即a≥1.∴(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选C.[答案]C14．设f(x)＝x2－4，若0a≤1，则fa＋1a＝________.[解析]fa＋1a＝a＋1a2－4＝a2＋1a2－2＝a－1a2＝a－1a.由于0a≤1，所以a≤1a.故fa＋1a＝1a－a.[答案]1a－a15．求使等式a－3a2－9＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．[解]∵a－3a2－9＝a－3a－3a＋3＝a－32a＋3＝|a－3|a＋3.∴要使等式a－3a2－9＝(3－a)·a＋3成立，必须有|a－3|＝3－a，a＋3≥0，即3－a≥0，a＋3≥0，⇒a≤3，a≥－3，⇒－3≤a≤3.故a的取值范围是[－3,3]．10