（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程讲义

1第1讲坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019曲线的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式·T22求极坐标系下的曲线方程·T22点的极坐标、圆的极坐标方程、极坐标的应用·T222018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解·T22参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用·T22参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用·T222017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离·T22直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题·T22直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法·T22(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.考点一极坐标[例1](2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.2设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.[解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可.(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy中，直线l1：x＝0，圆C：(x－1)2＋(y－1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l1和圆C的极坐标方程；(2)若直线l2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设l1，l2与圆C的公共点分别为A，B，求△OAB的面积.解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线l1的极坐标方程为ρcosθ＝0，即θ＝π2(ρ∈R)，圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2()1＋2ρsinθ＋3＋22＝0.3(2)设Aπ2，ρ1，Bπ4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcosθ－2()1＋2ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－2()1＋2ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋2.故△OAB的面积为12×()1＋22×sinπ4＝1＋324.考点二参数方程[例2](2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.[解](1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2（1＋t2）2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ).C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，4故C上的点到l距离的最小值为7.[解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t·1t＝1；②t＋1t2－t－1t2＝4；③2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝4＋2cosα，y＝3＋2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程；(2)设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值.解：(1)由参数方程x＝4＋2cosα，y＝3＋2sinα得普通方程(x－4)2＋(y－3)2＝4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－6ρsinθ＋21＝0.(2)设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，得t2－()3＋1t＋1＝0，所以t1t2＝1，直线l：x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)，可化为x＝2＋12（2t），y＝1＋32（2t），5所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.考点三极坐标与参数方程的综合应用[例3](2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋35t，y＝1＋45t(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝21＋sin2θ，点P的极坐标为2，π4.(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.[解](1)由ρ2＝21＋sin2θ得ρ2＋ρ2sin2θ＝2①，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为x22＋y2＝1.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为2，π4，所以x＝ρcosθ＝2cosπ4＝1，y＝ρsinθ＝2sinπ4＝1.所以点P的直角坐标为(1，1).(2)法一：将x＝1＋35t，y＝1＋45t代入x22＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－11041.依题意，点M对应的参数为t1＋t22，所以|PM|＝t1＋t22＝5541.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.由x＝1＋35t，y＝1＋45t消去t，得y＝43x－13.将y＝43x－13代入x22＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，6所以x1＋x2＝1641，x1x2＝－1641.所以x0＝841，y0＝43x0－13＝43×841－13＝－341，即M841，－341.所以|PM|＝841－12＋－341－12＝－33412＋－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解.(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2，1).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值.解：(1)直线l1的参数方程为x＝2＋tcos30°，y＝1＋tsin30°(t为参数)，即x＝2＋32t，y＝1＋12t(t为参数).设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，则ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cosθ1＝3，所以ρ·3cosθ＝12，即ρ＝4cosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0(x≠0).(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，7得2＋32t2－42＋32t＋1＋12t2＝0，即t2＋t－3＝0，Δ＝13＞0，t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝22t，y＝22t＋42(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋π4.(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围.解：(1)由x＝22t，y＝22t＋42消去t得y＝x＋42，由ρ＝2cosθ＋π4得ρ＝2cosθ－2sinθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2得x－222＋y＋222＝1，即C是以22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心22，－22到直线y＝x＋42的距离d＝22＋22＋422＝5＞1，所以直线l与曲线C相离.(2)圆的参数方程为x＝22＋cosθ，y＝－22＋sinθ(θ为参数)，则x＋y＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4，又由θ∈R可得－1≤sinθ＋π4≤1，则－2≤x＋y≤2，8所以x＋y的取值范围为[－2，2].[专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈0，π2.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－3)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则半圆C的参数方程为x＝2＋2cost，y＝2sint(t为参数，0≤t≤π).(2)C，D的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)，于是直线CD的斜率k＝3－05－2＝33.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t满足tant＝33，t＝π6，所以切点的直角坐标为2＋2cosπ6，2sinπ6，即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C