（新高考）2020版高考数学二轮复习 第一部分 思想方法 数学思想方法 第4讲 转化与化归思想教学案

1第4讲转化与化归思想思想方法·简明概述转化与化归的原则常见的转化与化归的方法1.熟悉化原则2.简单化原则3.直观化原则4.正难则反原则1.直接转化法2.换元法3.数形结合法4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化方法8.等价问题法9.加强命题法10.补集法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法热点探究·考向调研调研一特殊与一般的转化【例1】(1)[2018·唐山三模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx有两个极值点x1，x2，且x1x2，若x1＋2x0＝3x2，函数g(x)＝f(x)－f(x0)，则g(x)()A．恰有一个零点B．恰有两个零点C．恰有三个零点D．至多两个零点解析：由题知只要f(x)有两个极值点，且x1x2，x1＋2x0＝3x2，则结果是一样的，所以不妨令b＝0，a＝－3，则f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，x1＝0，x2＝2，且x0＝3，∴g(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，显然g(x)恰有两个零点，故选B.答案：B(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.解析：方法一：取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.方法二：取特殊角A＝B＝C＝π3，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.答案：45(3)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.2解析：把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则AP→·AC→＝18.答案：18方法点睛化一般为特殊的作用(1)常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，对特殊值进行探求，可快捷得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．调研二函数、方程、不等式之间的转化【例2】(1)[2019·安徽合肥质检三]若存在两个正实数x，y，使得等式x(1＋lnx)＝xlny－ay成立，则实数a的取值范围是()A.0，1e2B.0，1eC.－∞，1e2D.－∞，13解析：∵x0，y0，x(1＋lnx)＝xlny－ay，∴ay＝xlny－xlnx－x，ay＝xlnyx－x，∴a＝xylnyx－xy，即a＝－xylnxy－xy.令t＝xy，则t0，a＝－tlnt－t.令f(t)＝－tlnt－t(t0)，则f′(t)＝－(lnt＋2)．令f′(t)＝0，得t＝1e2.当t∈0，1e2时，f′(t)0，f(t)单调递增；当t∈1e2，＋∞时，f′(t)0，f(t)单调递减．∴[f(t)]max＝f1e2＝1e2，∴a≤1e2，故选C.答案：C(2)在等差数列{an}中，a2，a2018是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则的值为()A．－3B．－133C．3D.13解析：f′(x)＝3x2－12x＋4，因为a2，a2018是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，所以a2，a2018是方程3x2－12x＋4＝0的两个不等实数根，所以a2＋a2018＝4.又因为数列{an}为等差数列，所以a2＋a2018＝2a1010，即a1010＝2，从而，故选B.答案：B(3)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．解析：因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔x＋t≤1＋lnx.所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋lnx－x对任意x∈[1，m]恒成立．令h(x)＝1＋lnx－x(x≥1)．因为h′(x)＝1x－1≤0，所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，又因为x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋lnm－m.所以要使得对任意x∈[1，m]，t值恒存在，只需1＋lnm－m≥－1.因为h(3)＝ln3－2＝ln1e·3eln1e＝－1，h(4)＝ln4－3＝ln1e·4e2ln1e＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.答案：3方法点睛函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．调研三正难则反的转化【例3】(1)[2019·太原模拟]由命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，得4m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1)B．(－∞，2)C．1D．2解析：命题“存在x0∈R，使－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1，故选C.答案：C(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．解析：g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立(正反转化)，由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x，当x∈(t,3)时恒成立，所以m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得3x2＋(m＋4)x－2≤0，即m＋4≤2x－3x，当x∈(t,3)时恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373，－5.答案：－373，－5(3)若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)0，则实数p的取值范围为________．5解析：如果在区间[－1,1]内没有值使得f(c)0，则f－1≤0，f1≤0⇒p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32⇒p≤－3或p≥32，取补集为－3p32，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为－3，32.答案：－3，32方法点睛正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．调研四主与次的相互转化【例4】(1)若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈[－2,2]恒成立，则a的取值范围为()A．(－∞，－2]B．[－2,2]C．(0,2]D．[2，＋∞)解析：因为x∈[－2,2]，当x＝0时，原式为02－a·0＋1≥0恒成立，此时a∈R；当x∈(0,2]时，原不等式可化为a≤x2＋1x，而x2＋1x≥2xx＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a的取值范围是(－∞，2]；当x∈[－2,0)时，可得a≥x2＋1x，令f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，由函数的单调性可知，f(x)max＝f(－1)＝－2，所以a∈[－2，＋∞)．综上可知，a的取值范围是[－2,2]，故选B.6答案：B(2)设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时恒取正值，则x的取值范围是________．解析：设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)0恒成立，则f－20，f20，即log2x2－4log2x＋30，log2x2－10，解得log2x－1或log2x3.即0x12或x8，故x的取值范围是0，12∪(8，＋∞)．答案：0，12∪(8，＋∞)(3)已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为________．解析：由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5.令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1)．(主次转化)对－1≤a≤1，恒有g(x)0，即φ(a)0，所以φ10，φ－10，即3x2－x－20，3x2＋x－80，解得－23x1.故当x∈－23，1时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)0.答案：－23，1方法点睛主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的变量(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．7