（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题一 解题常用8术系统归纳 第3讲 出奇制胜

1第3讲出奇制胜，巧妙构造方法概述构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质，运用已知数学关系式和理论，构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法.构造法应用的技巧是“定目标构造”，需从已知条件入手，紧扣要解决的问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题.解题时常构造函数、构造方程、构造几何图形等应用题型适用于各类题型，多涉及函数、方程、几何图形等知识方法（一）构造函数[例1](1)已知m，n∈(2，e)，且1n2－1m2lnmn，则()A.mnB.mnC.m2＋1nD.m，n的大小关系不确定(2)已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且y＝f(x＋1)为偶函数，f(2)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为________.[解析](1)由不等式可得1n2－1m2lnm－lnn，即1n2＋lnn1m2＋lnm.设f(x)＝1x2＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－2x3＋1x＝x2－2x3.因为x∈(2，e)，所以f′(x)0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增.因为f(n)f(m)，所以nm.故选A.(2)令h(x)＝f（x）ex，则h′(x)＝f′（x）－f（x）ex＜0，∴h(x)在R上是减函数，又y＝f(x＋1)是偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝1，由f(x)＜ex得f（x）ex＜1，又h(0)＝f（0）e0＝1，∴h(x)＜h(0)，∴x＞0，故原不等式的解集为(0，＋∞).[答案](1)A(2)(0，＋∞)2方法（二）构造方程[例2]已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则1a2＋1b2＝__________.[解析]由题意可知a，b是方程x2－3x－1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知a＋b＝3，ab＝－1，所以1a2＋1b2＝a2＋b2a2b2＝（a＋b）2－2aba2b2＝32－2×(－1)＝11.[答案]11方法（三）构造几何图形[例3]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，现有以下命题：①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β；②m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α⇒α∥β；③m⊥β，n⊥α，m⊥n⇒α⊥β；④m⊂α，m∥n⇒n∥α.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[解析]法一：(分析法)对于①，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则两平面可能是平行的，所以①为假命题；对于②，若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，只有当m与n相交时，才能推出α∥β，所以②为假命题；对于③，因为m⊥β，m⊥n，所以n⊂β或n∥β，又n⊥α，所以α⊥β，所以③为真命题；对于④，若n⊄α，则结论正确，若n⊂α，则结论不正确，所以④为假命题.综上可知，真命题的个数只有一个.故选B.法二：(构造法)如图，几何体ABCD­A1B1C1D1为长方体.对于①，A1B1⊥BC，且A1B1⊂平面A1B1C1D1，BC⊂平面ABCD，而平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以①为假命题；对于②，A1B1∥平面ABCD，分别取棱AA1，BB1的中点E，F，连接EF，显然EF∥平面ABCD，而A1B1⊂平面ABB1A1，EF⊂平面ABB1A1，而平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，故②为假命题；对于④，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，所以④为假命题.对于③，因为m⊥β，m⊥n，所以n⊂β或n∥β，又n⊥α，所以α⊥β，所以③为真命题.综上可知，真命题的个数只有一个.故选B.3[答案]B[应用体验]1.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则ff52的值是()A.0B.12C.1D.52解析：选A由已知得f（x＋1）x＋1＝f（x）x，故构造函数g(x)＝f（x）x，则g(x＋1)＝f（x＋1）x＋1，所以g(x＋1)＝g(x)，即g(x)是周期为1的函数.又f(x)为偶函数，所以g(x)为奇函数.故再构造一个特例函数g(x)＝sin2πx(x∈R)，所以f(x)＝xsin2πx，从而有f52＝52sin5π＝0，故ff52＝f(0)＝0.故选A.2.已知数列{an}，an＝2an－1＋n＋1，a1＝1(n∈N*)，则an＝__________.解析：由已知可得an＋n＋3＝2[an－1＋(n－1)＋3].设bn＝an＋n＋3，则bn＝2bn－1，所以{bn}是公比为2的等比数列，且b1＝a1＋1＋3＝5，所以bn＝5×2n－1，所以an＝5×2n－1－n－3.答案：5×2n－1－n－33.函数f(x)＝x2－4x＋13＋x2－10x＋26的值域为__________.解析：f(x)＝（x－2）2＋（0－3）2＋（x－5）2＋[0－（－1）]2，其几何意义是平面内动点P(x，0)到两定点M(2，3)和N(5，－1)的距离之和(如图所示)，求其值域只要求其最值即可.易知当M，N，P三点共线(即P在线段MN上)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝|MN|＝5，f(x)无最大值，故得函数的值域为[5，＋∞).4答案：[5，＋∞)4.函数y＝sinxcosx－3的最大值和最小值分别为__________，__________.解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P(cosx，sinx)与定点Q(3，0)连线的斜率，为此构造一个单位圆，探究单位圆上动点P(cosx，sinx)与定点Q(3，0)连线的斜率问题.如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最小，设切点分别为R，M.易知kOR＝22，kOM＝－22，所以kQR＝－24，kQM＝24，所以－24≤kPQ≤24.即y＝sinxcosx－3的最大值为24，最小值为－24.答案：24－24