（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第三层备考篇 专题二 4大数学思想系统归纳 第3讲 分类讨论

1第3讲分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法.分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用.应用（一）由概念、法则、公式引起的分类讨论[例1]等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为()A.－3B.1C.－3或1D.1或3[解析]设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n，3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝a1（1－qn）1－q，Sn＋2＝a1（1－qn＋2）1－q，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有4－q2＝0，3＋3a1－3q＝0，解得a1＝1，q＝2或a1＝－3，q＝－2，故a1＝1或－3.故选C.[答案]C[技法领悟]本题易忽略对q＝1的情况进行讨论，而直接利用Sn＝a1（1－qn）1－q(q≠1)，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝a1（1－qn）1－q进行讨论.[应用体验]1.已知函数f(x)＝sin（πx2），－1x0，ex－1，x≥0，若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能值为________.解析：f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.2由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1，所以πa2＝2kπ＋π2(k∈Z).所以a2＝2k＋12(k∈Z)，k只能取0，此时a2＝12.因为－1a0，所以a＝－22.故a＝1或－22.答案：1或－222.若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析：若a1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意；若0a1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，经检验符合题意.答案：14应用（二）由运算、性质引起的分类讨论[例2]已知a＞0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0[解析]∵a＞0，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.综上可知，故选D.[答案]D[技法领悟]3应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的.在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.[应用体验]3.在△ABC中，C＝π4，AB＝2，AC＝6，则cosB的值为()A.12B.－32C.12或－32D.12或－12解析：选D由题意知C＝π4，c＝AB＝2，b＝AC＝6，由正弦定理bsinB＝csinC，得sinB＝6sinπ42＝32.因为b＞c，所以B＞C＝π4，又0＜B＜π，所以B＝π3或2π3.当B＝π3时，cosB＝12；当B＝2π3时，cosB＝－12.故选D.4.若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，则实数a的取值范围为________.解析：若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，即函数g(x)＝ax2＋x在(0，1)内单调递增，当a＝0时，g(x)＝x在(0，1)内单调递增，符合题意，当a0时，g(x)的对称轴x＝－12a0，g(x)在(0，1)内单调递增，符合题意，当a0时，需满足g(x)的对称轴x＝－12a≥1，解得－12≤a＜0，综上，a≥－12.答案：－12，＋∞4应用（三）由参数变化引起的分类讨论[例3](2018·北京高考)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.[解](1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.所以f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a12，则当x∈1a，2时，f′(x)0;当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在x＝2处取得极小值.若a≤12，则当x∈(0，2)时，x－20，ax－1≤12x－10，所以f′(x)0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是12，＋∞.[技法领悟](1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a12和a≤12两种情况.(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏.[应用体验]5.函数f(x)＝ax2＋3x－a(a∈R)()A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有一个零点或两个零点解析：选D当a≠0时Δ＝9＋4a2＞0，函数f(x)有两个零点.当a＝0时，ax2＋3x－a＝0可化为3x＝0，解得x＝0.因此原函数有一个零点或有两个零点.故选D.56.已知函数f(x)＝x1＋x－aln(1＋x)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.解：因为f(x)＝x1＋x－aln(1＋x)(x＞－1)，所以f′(x)＝1（x＋1）2－ax＋1＝－ax－a＋1（x＋1）2，当a≤0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞).当a＞0时，由f′（x）＞0，x＞－1得－1＜x＜－1＋1a；由f′（x）＜0，x＞－1得x＞－1＋1a.所以函数f(x)的单调递增区间是－1，－1＋1a；单调递减区间是－1＋1a，＋∞.综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－1，＋∞).当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间是－1，－1＋1a；单调递减区间是－1＋1a，＋∞.应用（四）根据图形位置或形状分类讨论[例4](2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2，2)或(2，－2).所以直线BM的方程为y＝12(x＋2)或y＝－12(x＋2)，即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由y＝k（x－2），y2＝2x，得ky2－2y－4k＝0，所以y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为6kBM＋kBN＝y1x1＋2＋y2x2＋2＝x2y1＋x1y2＋2（y1＋y2）（x1＋2）（x2＋2）.①将x1＝y1k＋2，x2＝y2k＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4k（y1＋y2）k＝－8＋8k＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN成立.[技法领悟](1)本题中直线l的位置不确定，设直线方程时，应分两种情况讨论.(2)根据图形位置或形状分类讨论的关键点①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定；②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类；③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理.[应用体验]7.已知变量x，y满足的不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A.－12B.12C.0D.0或－12解析：选D不等式组x≥0，y≥2x，kx－y＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足.结合图形可知斜率k的值为0或－12.故选D.8.设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.已知P，F1，F2是一个直角三7角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，则|PF1||PF2|的值为________.解析：①若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上知，|PF1||PF2|＝72或2.答案：2或72[总结升华]1.分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.2.分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”.(2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集).8