广东省化州市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理（含解析）

-1-广东省化州市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2|log10Axx，|3Bxx，则RABð（）A.,1B.2,3C.2,3D.,12,3U【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，再求ARð，从而根据交集运算求得结果.【详解】由集合2|log10|12Axxxx，则|12RAxxx或ð，又|3Bxx，所以,12,3RABðIU.所以本题答案为D.【点睛】本题考查集合的交并补混合运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题.2.设11izi，z是z的共轭复数，则zz（）A.-1B.iC.1D.4【答案】C【解析】【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得z的值，可得z，从而求得zz的值．【详解】211111iiziiii，则zi，-2-故1zzii，故选C.【点睛】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图所示），则四棱锥MEFGH的体积为（）A.112B.14C.12D.13【答案】A【解析】【分析】先作出E，F，G，H四点所在的截面图，由图可求四边形EFGH的面积，再利用正方体的性质可求点M到平面EFGH的距离，从而根据锥体体积公式求得结果.【详解】因为E，F，G，H分别为各个面的中心，显然E，F，G，H四点共面，截面如图所示．显然四边形EFGH为正方形，且边长为22，所以221222EFGHS正方形.-3-另外易知点M到平面EFGH的距离为正方体棱长的一半，即四棱锥MEFGH的高为12，所以四棱锥MEFGH的体积111132212V.所以本题答案为A.【点睛】本题考查正方体的性质和正四棱锥的体积，主要考查学生的空间想象能力和计算求解能力，属中档题.4.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A.360种B.480种C.600种D.720种【答案】C【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,共有4555600CA,故选B.5.等比数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，已知374S，6634S，则8a的值是（）A.28B.32C.35D.41【答案】B【解析】【分析】先考虑1q时的情况，明显不符合题意，故当1q时，根据条件列出关于1a和q的方程组，解之即可求出1a和q，从而根据等比数列的通项公式求得结果.【详解】当1q时，显然不符合题意；当1q时，-4-3161171416314aqqaqq①②，②÷①，得319q，∴38q，依题意2q=，代入①，解得114a，∴7812324a.所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式和等比数列的通项公式的基本运算，注意讨论1q的情况，属基础题.6.已知fx是定义在区间1,1上的奇函数，当0x时，1fxxx.则关于m的不等式2110fmfm的解集为（）A.0,1B.(2,1)C.(2,2)D.[0,2)【答案】A【解析】【详解】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可．详解：∵2110fmfm，函数f(x)为奇函数，∴22111fmfmfm，又f(x)是定义在[−1,1]上的减函数，∴2211111111mmmm，即022221mmm，解得01m．∴不等式的解集为[0,1)．故选A．点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为12()()fxfx或12()()fxfx的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制．-5-7.已知双曲线2222:1(00)xyCabab，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.52【答案】C【解析】【分析】可设双曲线C的右焦点F(c,0),渐近线的方程为byxa,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=5a，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线C的右焦点F(c,0),渐进线的方程为byxa，可得d=22bcab=b=2a，可得c=22ab=5a，可得离心率e=5ca，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.8.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A.1211nn；B.211nn；C.21nn；D.121nn；【答案】A-6-【解析】【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．-7-9.函数()sin()fxAx（其中0A，2）的图象如图所示，为了得到()sin3gxx的图象，只需将()fx的图象（）A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π12个单位长度D.向左平移π12个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案．【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故ω3，又函数的图象的第二个点是π,04，π3φπ4，所以πφ4，所以πfxAsin3x4，故ππgxAsin3xAsin3x124所以只需将函数fx的图形要向右平移π12个单位，即可得到gx的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设24DFAF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）-8-A.413B.513C.926D.326【答案】A【解析】【分析】在ABD中，由余弦定理求出AB，从而根据两个等边三角形的面积比求得所求概率.【详解】在ABD中，6AD，2BD，120ADBo，由余弦定理，得222cos120213ABADBDADBDo，所以4221313DFAB，所以所求概率为2241313DEFABCSS.所以本题答案为A.【点睛】本题考查几何概型和余弦定理的应用，本题关键在于利用余弦定理求出AB，属中档题.11.形如11yx的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数2log10,1afxxxaa有最小值，则“囧函数”与函数logayx的图像交点个数为（）A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】【分析】令21uxx，根据函数log0,1ayuaa有最小值，可得1a，由此可画出“囧-9-函数”11yx与函数logayx在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.【详解】令21uxx，则函数log0,1ayuaa有最小值．∵2133244ux，∴当函数logayu是增函数时，logayu在3,4u上有最小值，∴当函数logayu是减函数时，logayu在3,4u上无最小值，∴1a.此时“囧函数”11yx与函数logayx在同一坐标系内的图象如图所示，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.所以本题答案为C.【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.12.设函数()1xgxeexa（aR，e为自然对数的底数），定义在R上的函数()fx满足2()()fxfxx，且当0x时，()fxx.令212Txfxx，已知存在0|1xxTxTx，且0x为函数()ygxx的一个零点，则实数a的取值范围为（）A.,2eB.,eC.,eD.-10-,2e【答案】D【解析】【分析】由21Txfxx2，推得TxTx0Tx，为奇函数，再由fxxTx，得在R上单调递减，0001TxT1xx2，得，转化为ygxx，在1x2，有一个零点即可.【详解】因为2fxfxx，所以22211TxTxfxxfxxfxfxx022，所以Tx为奇函数，当x0时，Txfxx0，所以Tx在,0上单调递减，所以Tx在R上单调递减.因为存在0xx|TxT1x，所以00TxT1x，所以00x1x，即01x2.令xhxgxxeexa，1x2，因为0x为函数hxgxx的一个零点，所以hx在1x2时有一个零点.因为当1x2时，1x2hxeeee0，所以函数hx在1x2时单调递减，由选项知a0，a102e，又因为aaeeaaheeae0ee，所以要使hx在1x2时有一个零点，只需使11heea022，解得ea2，-11-所以a的取值范围为