北京市西城区第八中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）

1北京市西城区第八中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）考试时间:120分钟，满分:150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．A.A∩B＝B.A∪B＝RC.BAD.AB【答案】B【解析】【详解】依题意|02Axxx或，又因为B＝{x|－5＜x＜5}，由数轴可知A∪B＝R，故选B.【此处有视频，请去附件查看】2.化简ABBCAD等于（）A.CDB.DCC.ADD.CB【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】ACABBAACCDDD故选B【点睛】本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型.3.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（）A.1exB.1xeC.1exD.1ex【答案】D【解析】【详解】与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为xye，2向左平移1个单位得(1)1xxyee，即1()xfxe．故选D．【此处有视频，请去附件查看】4.“向量a与向量b共线”是“存在R,使得λab=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】与共线向量有关的问题,重点考虑零向量的特殊性即可判断.【详解】由平行向量的定义,若存在∈R,使得λab=,则向量a与向量b共线.但当向量a与向量b共线时,若b为零向量,a不为零向量,则不存在∈R,使得λab=.故选B【点睛】本题主要考查向量共线的定义与判定,属于基础题型.5.函数1cosfxxxx（x且0x）的图象可能为（）A.B.C.3D.【答案】D【解析】因为11()()cos()cos()fxxxxxfxxx，故函数是奇函数，所以排除A，B；取x，则11()()cos()0f，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.【此处有视频，请去附件查看】6.设等差数列na的前n项和为nS，若112,0,3mmmSSS，则m()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由0mS112mmmaaSS又113mmmaSS，可得公差11mmdaa，从而可得结果.【详解】na是等差数列102msmmaaS112mmmaaSS又113mmmaSS，∴公差11mmdaa，11325maammm，故选C．4【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.函数()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数12,,,nxxx，使得1212()()()nnfxfxfxxxx，则n的取值范围为（）A.2,3B.2,3,4C.3,4D.3,4,5【答案】B【解析】【详解】1111()()00fxfxxx表示11(,())xfx到原点的斜率；1212()()()nnfxfxfxxxx表示1122(,())(,())(,())nnxfxxfxxfx，，，与原点连线的斜率，而1122(,())(,())(,())nnxfxxfxxfx，，，在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数sin()xfxx,下列四个命题正确的序号是（）①()yfx是偶函数②()1fx③当32x时,()yfx取得极小值④满足51()()66nnff的正整数n的最小值为9A.①②③B.①③④C.①②D.①②④【答案】D【解析】【分析】对①,直接根据偶函数的定义判断即可.对②,根据当0x时sinx与x大小关系判断即可.对③,求导后代入32x判断即可.对④,求导分析函数单调性,确定sin()xfxx的极值点位置再判断即可.【详解】对①,sin()xfxx定义域为0xx,当0x时,sin()sinsin()()xxxfxfxxxx,故()fx是偶函数,①正确对②,因为sin()xfxx为偶函数,故只需考虑0x时的情况即可.画出sinyx与yx的函数图像如图.因为sin'cos1'xxx且当0x时成立,由图可得当0x时,sinxx恒成立.故当0x时,sin()1xfxx.又sin()xfxx为偶函数,故sin()1xfxx恒成立.对③,2cossin'()xxxfxx令'()0fx则cossin0xxx.当32x时cossin0xxx不成立,故③错误.对④,2cossin'()xxxfxx令()cossingxxxx,当2x时,()cossin12222g,当2x时,()cossincos(tan)gxxxxxxx先画出yx与tanyx的图像如图6注意当(0,)2x时,21tan'1cosxx,此时tanxx,此时()cos(tan)0gxxxx当(,)2x时,cos0x,tanxx,故()cos(tan)0gxxxx当x时,()cossin0g.故当(0,]x时,2cossin'()0xxxfxx当3()2x，时,cos0x,且tan0xx有根.又对sin()xfxx,6()06f,73()67f,833()68f,92()63f,1033()610f.故满足1()()66nnff的正整数n的最小值为9.故④正确.故选D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、函数单调性奇偶性与不等式的解法等.其中④对三角函数的分析与计算能力要求较高,属于难题.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)9.函数()sin()24fxx,在区间0,1上的最小值是__________【答案】22【解析】【分析】根据01x，得出24x的范围,再根据三角函数单调性进行求解即可.【详解】∵x∈[0,1],∴2x∈[0,2],∴24x∈[,44],7∴sin24x∈[22,22],∴函数f(x)sin24x在区间0,1上的最小值是22,故答案为22【点睛】本题主要考查三角函数的单调性与最值运用,属于基础题型.10.在等比数列na中，若2420aa，4660aa，则q__________．【答案】3.【解析】分析：根据题意列出关于首项1a，公比q的方程组，解得1a、q的值，即可得结果详解：设等比数列na中公比为q，∵242462420(=60aaaaqaa），∴23q，∴3q，故答案为3．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.11.在平面直角坐标系中，点(0,0)O,(1,3)P，将向量OP绕点O顺时针方向旋转2后，得到向量OQ，则点Q的坐标是__________【答案】(3,1)【解析】【分析】设向量OP与x轴正半轴的夹角为,再表示出OQ对应的夹角,利用三角函数求解即可.8【详解】∵平面直角坐标系中,点(0,0)O,(1,3)P则2OP．将向量OP绕点O顺时针方向旋转弯2后,得到向量OQ,设(1,3)(2cos,2sin)OP,易得3．设点Q的坐标为(,)xy,则2cos()2sin32x,2sin()2cos12y,故点Q的坐标为(3,1),故答案为(3,1)【点睛】本题主要考查三角函数的定义,角顺时针旋转2对应的角度为2,属于中等题型.12.已知12ee、是夹角为60°的两个单位向量，则向量122ee与向量212e3e的夹角为__________【答案】23【解析】【分析】根据夹角公式1211coseeee与向量的坐标运算求解即可.【详解】∵已知12ee、是夹角为60°的两个单位向量,∴1e•2e1×1×cos60°12．设向量122ee与向量2123ee的夹角为θ,θ∈[0,π]．∵(122ee)•(211223)eeee621e22212e6+272,|122ee|2121244172ee,|2123ee|221123412972ee,故cosθ12211221722312277223eeeeeeee,∴θ23,9故答案为23【点睛】本题主要考查向量的数量积与模长夹角的运算,属于基础题型.13.已知函数22(0)()1(0)xxxxfxex若对xR,不等式()fxax成立，则a的取值范围是__________【答案】2,1【解析】【分析】分0x与0x两种情况分别讨论研究恒成立问题即可.【详解】当0x,2()2fxxxax,得2(2)0xax,2xa,即2ax,2a,当0x时,()1xfxe,'()xfxe,0'(0)1fe,所以过(0,0)的切线为yx,()fxax,则1a,故2,1a,故答案为2,1【点睛】本题主要考查分段函数的恒成立问题,需要分开讨论或者数形结合分析,属于中等题型.14.设Q为平面直角坐标系xOy中的点集，从Q中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M,N,记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x(Q),点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y(Q).若Q是边长为1的正方形，给出下列三个结论:①x(Q)的最大值为2②x(Q)+y(Q)的取值范围是2,22③x(Q)-y(Q)恒等于0.其中所有正确结论的序号是_________【答案】①②③．【解析】【分析】10易得(),()xQyQ与正方形Q的位置无关,故可以考虑将正方形确定在原点,再绕着原点旋转分析所有情况即可.【详解】如图由题易得(),()xQyQ与正方形Q的位置无关,故将正方形ABCD确定在原点,则只需考虑当正方形ABCD绕着原点旋转的所有情况即可.此时对角线长2.当正方形边均平行于坐标轴时取最小值()()1xQyQ.且()()max2cos,2sinxQyQ对①,()1,2xQ,故①正确对②,()()2()2,22xQyQxQ,故②正确.对③,因为()()max2cos,2sinxQyQ,故()()0xQyQ,故③正确.故答案为①②③【点睛】本题主要考查新定义的函数题型.利用数形结合的思想以及三角函数分析即可.属于中等题型.三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤)15.ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且1cos3A．(1)求2sincos22BCA的值；(2)若3a，求ABC面积的最大值．【答案】（1）19；（2）324【解析】11【分析】(1)将2sincos22BCA化简代入数据得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc，代入面积公式得到答案.【详解】